玻尔兹曼作为统计力学大师，研究的是经典粒子的统计行为，那么，量子力学中粒子的统计行为又是怎么样的？为何与经典粒子统计规律不同呢？这段历史将再次让我们的目光返回到旧量子论的年代。
现代物理学观点认为量子统计的规律有两种：玻色-爱因斯坦统计和费米-狄拉克统计。这四位物理学家中的爱因斯坦是人人皆知的大神，费米和狄拉克也都在诺贝尔奖榜上有名，可这个玻色和费米是谁呢？本篇我们就介绍一下玻色和费米两位学者。
玻色的确不是那么有名，印度人，属于第三世界的物理学家，固然受很多条件所限。不过，由他而命名的玻色子在物理学界还是挺有名的。对玻色子统计规律的研究是玻色一生中唯一项重要的成果。
有趣的是，玻色是因为一个“错误”而发现玻色子统计规律的。1921年左右，在一次有关光电效应的讲课中，玻色犯了一个类似“掷两枚硬币，得到两次正面（即‘正正’）的概率为三分之一”的错误。没想到，这个错误却得出了与实验相符合的结论，也就是不可区分的全同粒子所遵循的一种统计规律。
什么叫“掷两枚硬币，‘正正’概率为三分之一”的错误？另外，什么叫“不可区分的全同粒子”？两个粒子可区分或不可区分，会影响概率的计算吗？
我们看看在现实生活中如何计算概率。如果我们掷两枚硬币，因为每个硬币都有不同的正反两面，所有可能的实验结果就有四种情况：正正、正反、反正、反反。如果我们假设每种情形发生的几率都一样，那么，得到每种情况的可能性皆是四分之一。
现在，想象我们的两枚硬币变成了某种“不可区分”的两个粒子，姑且称它们为“量子硬币”吧。这种不可区分的东西完全一模一样，而且不可区分。既然不可区分，‘正反’和‘反正’就是完全一样的，所以，当观察两个这类粒子的状态时，所有可能发生的情形就只有“正正”“反反”“正反”三种情形。
这时，如果我们仍然假设三种可能性中每种情形发生的几率是一样的（尽管这好像不太符合我们对于实际“硬币”的日常经验，但不要忘记，我们考虑的是某种抽象的“量子硬币”），我们便会得出“每种情况的可能性都是三分之一”的结论。这个例子就说明了，多个“一模一样、无法区分”的物体，与多个“可以区分”的物体，所遵循的统计规律是不一样的。
玻色的错误能得出正确结果，正是因为光子是不可区分的。这种互相不可区分的、一模一样的粒子在量子力学中叫做“全同粒子”。
所谓全同粒子，就是质量、电荷、自旋等内在性质完全相同的粒子。在宏观世界中，可能不存在完全一模一样的东西，即使看起来一模一样，它们也是可以被区分的。因为根据经典力学，即使两个粒子全同，它们运动的轨道也不会相同。因此，我们可以追踪它们不同的轨道，进而区分它们。
但是，在符合量子力学规律的微观世界里，粒子遵循不确定性原理，没有固定的轨道，因而无法将它们区分开来。量子力学中，有两种类型的全同粒子：玻色子和费米子，分别以玻色和费米两位物理学家命名，它们分别服从两种不同的量子统计规律。
研究费米子统计规律的功劳，要归于美籍的意大利裔物理学家恩利克·费米（Enrico Fermi，1901-1954）。
以费米名字命名的物理对象很多：费米子、费米面、费米-狄拉克统计、费米悖论……甚至还有100号化学元素“镄”。当然，还有大名鼎鼎的美国芝加哥费米实验室、芝加哥大学的费米研究院等等。但了解费米其人的大众却不多，这是因为费米一生处事低调，淡泊名利。
费米主要成就包括首创β衰变的定量理论，设计并建造了世界上第一台可控核反应堆等等。费米是1938年诺贝尔物理学奖获得者，他对理论物理和实验物理均做出了重大贡献，因而被称为现代物理学的最后一位通才。
不同微观粒子的全同性统计行为有所不同，而这种不同则来源于它们的自旋，以及自旋所导致的不同的对称性。玻色子是自旋为整数的粒子，比如光子的自旋为1。
两个玻色子的波函数是交换对称的，当两个玻色子的角色互相交换后，总的波函数不变；而费米子的自旋则是半整数的，比如电子的自旋是二分之一。由两个费米子构成的系统的波函数是交换反对称的，即当两个费米子的角色互相交换后，系统总的波函数只改变符号。反对称的波函数与泡利不相容原理有关，所有费米子都遵循这一原理。因而，原子中的任意两个电子不能处在相同的量子态上，而是在原子中分层排列。
在这个基础上，才得到了有划时代意义的元素周期律。