纯粹数学给人的印象一直是艰涩深奥、远离尘嚣。学术上徐缓拖沓的进展令关键猜想的突破动辄耗费数百年。现代数学更是高度抽象、孤芳自赏，令人不知所云，因而不为外界关心。与之相反，科技领域的发展狂飙奔袭，一日千里，使日常生活和社会结构都发生了天翻地覆的变化。纯粹数学，特别是现代数学，如果对科技领域存在影响，似乎也是润物细无声的渗透，而非直截了当的应用，但却有可能是触及灵魂的颠覆。
在这里，笔者针对过去二十年间三项重大的科技突破（GPU、数控机床、三维扫描），谈下现代几何对于它们的直接应用，甚至某些颠覆性的观点。
GPU和阿蒂亚-辛格指标定理公元两千年左右，图形处理器GPU（Graphics Processing Unit)的出现和推广标志着计算机硬件的革命。与CPU类似，GPU是专为执行复杂的数学和几何计算而设计的，这些计算是图形渲染所必需的。
目前GPU的数值计算能力远远超过CPU，从而极大地推动了高性能计算、电子游戏，动漫动画和深度学习等领域的发展。在GPU发明之前，实时动画渲染只能依赖于专用的工作站，如SGI等等，其昂贵的价格严重抑制了游戏工业的发展。GPU的发明使得硬件成本戏剧性的下跌，实时游戏变得唾手可得，游戏工业蓬勃发展。
GPU的兴起使得三维游戏中的一项技术纹理贴图变得至关重要。
在游戏工业中，光滑曲面的形状被表示成三维的多面体网格(a)，曲面的颜色纹理被表示成二维的图像(c)(d)。纹理贴图技术就是将二维图像严丝合缝地贴到三维曲面上(e)(f)；或者等价地，将三维曲面展平到二维平面上，同时采用尽量减少畸变的展开方式(b)。在工业界，通常采用黎曼映照或调和映照，因为这种映射保持局部形状，畸变较小。纹理贴图的效果显现在(e)和(f)中，不同的纹理图像得到不同的渲染效果。
数控机床和拓扑障碍理论（陈类）数控机床技术在过去几十年间迅猛发展，对于高强度的机械部件加工，例如发动机，数控机床依然是无法被3D打印机所取代的。机械加工领域不同于游戏工业，曲面都是由所谓样条曲面（Splines）来表示的。样条曲面的位置是参数的分片多项式函数，光滑地自动拼接在一起，形状由控制网格(control net)所控制。这种表示对于曲面的光滑性（可导性）要求较高。
因为在加工过程中，切削铣车的速度，力度（加速度）需要计算出来并且精确监控，因此样条曲面应该至少处处二阶可导，曲率连续。汽车、飞机、船舶、机械的绝大多数设计都是基于样条曲面的，在具有复杂拓扑的曲面上构造处处二阶光滑的样条曲面，一直是具有根本重要性的中心问题。
三维扫描和超弦理论三维扫描技术在过去十年间如火如荼，高速度、高精度地获取三维人脸数据目前是轻而易举的，由此衍生了大量的三维数据处理问题。
例如，如何让计算机能够自动识别三维人脸上的表情就是一个饶有兴味的问题。假设我们采集了多人多表情的三维人脸数据，如果我们能够找到一种方法来度量任意两张三维脸之间的距离，我们姑且称之为两张脸之间的几何距离，那么我们就可以将这些人脸依据彼此间的几何距离来聚类。在这种依据几何距离进行聚类的模式识别算法中，最为重要的是三维人脸间几何距离的制定和选取。