有趣的数学，趣味究竟藏在哪里？让我们回到数学的又一个关键词——有趣。著名数学家陈省身曾说过：“数学好玩，玩好数学”。微分几何中有“高斯-博内-陈公式”、“陈示性类”、“陈-西蒙理论”等，由此可见他在微分几何学中的大师级地位。那么，数学究竟有哪些好玩之处呢？
首先，数本身就很好玩。在小学，小朋友们在认识数之后很快就会了解到很多有趣的数列，如等差数列、等比数列、斐波那契数列等等。
等差数列和等比数列的每项计算和若干项求和都有简单的公式。斐波那契数列{1，1，2，3，5，8，13，21，……}是意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖的数目增长规律时发现的。他在1202年出版的《算书》中提出了如下问题：假定每对兔子在出生两个月以后的每个月都会生出一对新的兔子，请问从一对兔子开始，一年后共有多少对兔子？
研究每个月的兔子数目就可导出斐波那契数列，该数列的第1、第2项都是1，数列中的其它项都是该项之前的两项数字之和。斐波那契数列有很多有趣的性质，其中之一是它前后相邻两项的比值逐渐近似于黄金分割比例。
若干个数以特定的方式排列可以组成一个方阵。我国在远古时代就有了著名的河图洛书。洛书是把1到9排成一个3乘3的方阵，横的每行、竖的每列三个数加起来都是15，而且每条对角线的三个数加起来也是15。类似地，我们可以用1到16排成一个四阶的方阵，使每条线上加起来都是34。
在乘法法则中，关于倍数和约数也有许多有趣的现象。例如：如果一个数是3的倍数，那么它的各位数之和也会是3的倍数；一个数是9的倍数，它的各位数之和也是9的倍数。有些乘法还有速算方式，比如：一个数加1乘以这个数减1等于该数的平方减去1；个位是5的两位数的平方就是把其十位上的数字乘以它自己加1，再在后面补上25即可得到答案，譬如45的平方是2025、75的平方是5625。
只用到简单的加减乘除四则运算，我们就可以得到一些有趣的数字谜题。举个例子：任给一个正整数，如果是奇数就乘3加1，如果是偶数就除以2，一直做下去，这个数最终一定会变成1。这个有趣的问题通常被称为“3X+1猜想”，该猜想在西方有很多不同的名字，其中之一是科拉兹猜想，而在东方它常常被称为角谷猜想。
还有一些数自身具有特殊的性质。
一个数，如果它是三个边长都为有理数的直角三角形的面积，我们就称其为“同余数”。从下图可以看出5，6，7是同余数，而费马最早证明1，2，3不是同余数。如果一个数等于除了它自身之外所有的约数之和，我们就它称为“完全数”。6就是个完全数，除了它自身，6的约数有1、2和3，且6=1+2+3。同样地，28=1+2+4+7+14也是一个完全数。不难验证，496，8126，33550336也都是完全数。
与完全数相关的概念是“亲和数”。给定两个数A和B，如果A除了本身之外的所有约数之和等于B，并且反过来B除了本身之外的所有约数之和等于A，我们就称A和B是一对亲和数。例如：220除了本身之外的约数是1、2、4、5、11、20、22、44、55、110，它们之和是284，而284除了自身之外的约数是1、2、4、71、142，它们加和恰好是220。
因此220和284是一对亲和数，它们最早由毕达哥拉斯发现。
上述完全数和亲和数都是针对于合数，而素数本身就有许多奇妙的规律。如果一个大于1的自然数，除了1和它本身外没有其他约数，我们就称这个数是素数，也称为质数。最小的十个素数依次是2，3，5，7，11，13，17，19，23，29。欧几里得在《几何原本》中就素数做了一些讨论，并给出了“有无限多个素数”的论断。这个结论很容易证明。
数学中有一些出名的常数，它们的性质和特点也十分神奇。前面我们已经详细地介绍了圆周率和黄金分割比例。这里还想介绍自然对数的底数，也即著名的欧拉常数e。另一个与欧拉相关的常数是欧拉-马歇罗尼常数γ。还有一个特别的常数是拉马努金常数，该常数利用三个无理数e、π和163开平方所生成，但它竟然与一个整数之间的误差小于10-12！
数学中还有很多有趣的定理和公式。比如数学分析中有不同形式的中值定理以及格林公式、斯托克斯公式等等。以斯托克斯公式为例，它描述的是一个集合内的积分可以转换为该集合边界上的积分。斯托克斯是英国数学家、物理学家，他在流体力学的数学理论方面做出了奠基性的工作。
在复变函数中，一个有趣的结论是解析函数两点之间沿着不同路径的曲线积分都相等，这是著名的柯西定理。柯西是法国数学家和物理学家，他提出了极限的定义方法、为微积分的严格化做出了至关重要的贡献，数学中许多结果以他的名字命名，如柯西不等式、柯西公式、柯西留数定理等。
数学中很多变换也相当有意思，通过这些变换我们可以把一个函数变成看似与它自身迥异的函数。比较出名的变换有傅里叶变换、拉普拉斯变换、小波变换等。不过可不要小瞧这些变换，它们在其他科学与工程领域往往起着关键性的作用。
当然，提到有趣的数学怎么会少了几何学呢？在中学，即便不喜欢数学的学生也会觉得不少几何题目趣味性非常强。关于几何学的一个真实的故事发生在2002年北京的国际数学家大会上，会上有个有趣的问题：任给一个五角星，对每个角上的三角形作外接圆，证明这个五个外接圆的交点共圆。
在立体几何中，则充满了更多的奥秘。例如：正多面体是指一种特殊的凸多面体，它的每个面都是有相同边数的正多边形、每个顶点都是有相同棱数的端点。正多面体只有正四面、正六面、正八面、正十二面、正二十面体。可以证明，其它面数的正多面体是不存在的。
在三维空间的二维曲面，比如一张纸，具有正面与反面两个面。如果在正面有一只蚂蚁，只要它不从边界上翻到另外一面，它就永远在正面而爬不到反面。德国数学家、拓扑学的先驱莫比乌斯构造出了一个神奇的拓扑形状，他把一根纸条扭转了180°后再将两头拼接起来，就得到了著名的莫比乌斯带（环）。莫比乌斯带的神奇之处在于，它只有一个面。
概率论是数学的一个分支，其中有趣的故事也数不胜数。最常见的与概率有关的事件是投硬币，硬币正面朝上和正面朝下的概率都是50%。投硬币的一个有趣题目是：连续投硬币直到连续出现N次正面朝上就停止，问投硬币次数的期望值是多少？答案是2N+1-2，这个神奇的答案其实有非常巧妙的简单推导方法。
极限也是数学中很有趣的概念。它的存在解释了很多所谓的“悖论”。早在战国时期，庄子就在他的著作《庄子•天下》中提到“一尺之捶，日取其半，万世不竭”。意思是取一尺长的木杆，每天截去当时长度的一半，如此往复可以永远截取下去。了解极限概念的人自然知道这在现实中是个悖论。
如果将洛必达法则类比到我们的现实生活，可以得到如下解释。假设我们每个人都长生不老，只要不断地学习，我们的知识都会积累得越来越多，没有上界，即趋向于无穷大。在这种情形下比较两个人的知识积累，根据洛必达法则，比的就是他们的导数，也就是知识增加的速度。