许多⼈对数学的理解常常停留在⾼深、抽象的数学证明层⾯，由此也衍⽣出了⼀些“数学⽆⽤论”的笑话。不过，笑话归笑话，但这却说明了⼀个残酷的现实：在公众中的确有⼈对数学的作⽤不了解，认为数学只是数学家的游戏，与实际⽣活⽆关，甚⾄觉得数学对国家社会的发展没什么作⽤。
⽽真实情况是，数学从它的诞⽣之⽇起就打上了应⽤的烙印。货物交易、⼟地测量、历法等都是古代数学研究的内容。
我国古代的数学著作《周髀算经》、《九章算术》、《孙⼦算经》等等，内容也都是研究⽇常⽣活相关的计算问题。我国古代著名的哲学家⽼⼦在《道德经》中写道：“善数，不⽤筹策”，意思是善于计数的⼈不⽤筹码也可以进⾏计算。可⻅，他对数学的作⽤也是充分肯定的。“亚圣”孟⼦是辩论⼤师，《孟⼦》中⼤量应⽤归纳、演绎、类⽐等逻辑推理的⽅法，⽽逻辑推理也是数学的基础。
数学还为其他学科的新发现提供了指导和表达形式。
这⽅⾯例⼦⽐⽐皆是：微分⽅程为流体⼒学、微分⼏何为相对论、数论为密码学、博弈论为经济学的发展都提供了强⼤的理论⽀撑。数学是所有⾃然科学的基础，也是强有⼒的⼯具，对很多其他科学领域的发展起了重要的作⽤。不少其他领域的科学家对数学的重要性有充分的阐述。达尔⽂是举世闻名的⽣物学家，他提出了⽣物进化论学说、出版了著名的《物种起源》。他曾经说过：“任何新发现在形式上都是数学，因为我们没有其他引导。
”达芬奇说：“⼈类探索如果不能⽤数学表达，就不能真正称之为科学”“⼒学是数学的乐园，因为我们在这⾥获得了数学的果实。”
当然，有些数学家关注的问题是⾼度抽象的纯数学问题，这些问题可能看上去在现实中没有直接的应⽤。也有的数学家本身对有应⽤背景的数学问题兴趣不⼤。因为⼀旦需要解决实际问题，很多理想的假设不成⽴，分析和推导就可能不够完美。总之，对应⽤有偏⻅的数学家还是存在的。著名数学家哈代就是其中之⼀。
哈代认为真正的数学就是不应当与应⽤挂钩，⽽且毫⽆遮拦地瞧不上应⽤数学。他在《⼀个数学家的辩⽩》中写到：“真正的数学对战争没有影响，……有⼀些应⽤数学的分⽀，……也许很难说它们是‘微不⾜道的’，但它们没有⼀个是‘真正的’数学，它们是令⼈厌恶的丑陋以及不堪忍受的⽆趣。”“我没有做过任何‘有⽤的’⼯作。我的发现，⽆论是直接的还是间接的，⽆论好还是坏，对这个世界不起任何作⽤。”
不过，有意思的是，哈代本⼈的有些⼯作在实际中确实得到了应⽤。⽐如，哈代-拉⻢努⾦渐进公式在统计物理中派上了⽤场，也被著名物理学家玻尔⽤于原⼦核量⼦分区函数的计算。这⾜以反驳哈代的“数学⽆⽤论”。好在像哈代这样偏执的数学家是极少数。⼤多数学家都认识到数学必须与实际紧密结合。俄国数学家切⽐雪夫曾诙谐地说：“使数学脱离实际需求，就好⽐把⺟⽜关起来不让它接触公⽜。
”切⽐雪夫在素数理论、函数逼近等⽅⾯有着重要贡献，切⽐雪夫多项式、切⽐雪夫不等式都是以他命名的。
总之，数学的应⽤随处可⻅。印度作家夏琨塔拉·戴维曾说过：“没有数学，你什么也不能做。你周围所有的东⻄都是数学，你周围所有的东⻄都是数字。”2020年，国际数学联盟庆祝⾸届国际数学节的主题词就是“数学⽆处不在”。这正是向公众宣传数学在各⾏各业正发挥着重要作⽤。我们再举⼏个数学发挥重要作⽤的例⼦。第⼀个例⼦是CT成像，CT肺部影像是帮助医⽣确诊该病的重要依据，⽽它的原理其实是数学中的拉东变换。
数学还在⼟⽊⼯程中发挥了重要作⽤。⽆论是桥梁、⽔坝，还是⾼层建筑，在设计中都需要⽤到有限元⽅法对其结构进⾏应⼒分析。有限元⽅法是求解微分⽅程的⼀类数值⽅法。⼆⼗世纪50年代末⾄60年代初，我国计算数学的奠基⼈和开拓者冯康在解决⼤型⽔坝计算问题的集体研究实践的基础上，独⽴于⻄⽅创造了⼀套求解偏微分⽅程问题的计算⽅法，当时他称之为“基于变分原理的差分⽅法”，也就是如今所指的有限元⽅法。
1984年，冯康还开创性地提出了基于⾟⼏何以计算哈密顿体系的⽅法，即哈密顿体系的保结构算法。此类算法在天体轨道计算等诸多⽅⾯有⼴泛应⽤，他因此获得了1997年国家⾃然科学奖⼀等奖。
在地球勘探中，为什么我们能知道看不⻅、摸不着的地下结构，了解油、⽓、煤等资源的分布情况呢？除了钻井直接取样这样的⾼成本⽅法，更多的是依赖间接的⽅法，即地球物理勘探，⽽其核⼼则可以归结于数学中的求解微分⽅程反演问题。
数学在天⽓预报中同样发挥着核⼼作⽤。现代天⽓预报的准确性不仅依赖先进的探测技术（如卫星、雷达），更需要倚靠先进的数值天⽓预报模式以及快速的计算⽅法。⽽后者在本质上都是数学问题。我国著名⽓象学家、应⽤数学家曾庆存曾获得2019年度国家最⾼科技奖，他也是世界上第⼀个⽤原始⽅程进⾏天⽓预报的科学家。
在航空领域，⻜机的外形设计、航空发动机的设计等等最终都是要解决数学、物理问题。
这些问题实质是复杂的流体⼒学问题。在⻜机设计中，数学数值⽅法的引⼊可以⼤⼤降低⻛洞实验的次数，从⽽极⼤地缩⼩设计周期和成本。在航天领域，数学同样也起着⾄关重要的作⽤。在⻜⾏轨道选择、推⼒规划⽅案制定、航天器有效载荷布局设计等等都有赖于数学⽅法。这其中，⽆论是卫星还是⽕箭轨道，拉格朗⽇点是⼀个必知的概念。
事实上，拉格朗⽇是出⽣在意⼤利的法国数学家、⼒学家、天⽂家，他在变分法、微分⽅程、数论等数学的多个分⽀有杰出贡献，有拉格朗⽇中值定理、拉格朗⽇内插法、拉格朗⽇乘⼦法等许多以他命名的⽅法和定理。
在⼤数据、⼈⼯智能等领域的问题，其核⼼问题也⼏乎都是数学问题。例如，通过机器⾃动识别⼿写阿拉伯数字，⾃动识别信封上的邮政编码、提⾼分拣效率。
⽽通过机器学习的⼿段“训练”计算机“识别”不同的⼿写数字本质上就是利⽤已有数据建⽴分类模型并对新数据进⾏分类。同样地，语⾳识别、指纹识别、虹膜识别等问题的核⼼都可以归结为数学上的优化问题。⾃动导航和⾃动驾驶等能够得以实现，实质都是⼈类利⽤数学的⽅法和⼿段训练计算机、编写程序，使得计算机拥有这些能⼒。其中的道路规划，⽆论是路径最短还是时间最短，都可以归结为图与⽹络流的优化问题。
数学在图像分析和图像处理的发展中也起着关键作⽤。⽐如，图像去噪实际上就是求解稀疏优化问题。如下图，通过求解⼀个数学问题，我们就可以把⼀个加了噪声的照⽚（右）恢复成原始清晰的照⽚（左）。压缩感知技术也是图像处理中运⽤较多的技术，为的是⽤最少的存储单位记录尽可能清晰的图像。
这个问题在科学、⼯程以及国防等诸多⽅⾯有重要应⽤，该问题的核⼼是求解⼀个⼤规模（变量个数⼏千万甚⾄上亿）的线性⽅程组问题，并且希望求得的解尽可能稀疏（即尽量多的分量为零）。这个问题描述起来很简单，但本质上是⼀个⾮常困难的问题（NP难问题）。陶哲轩等⼈证明了该困难问题在⼀定条件下等价于1-范数优化问题（容易问题）。
陶哲轩是出⽣于澳⼤利亚的华裔数学家，他在中学就获过奥赛⾦牌，后来得了菲尔兹奖，在数论、调和分析、偏微分⽅程、组合论等多个⽅向有突出贡献，⼀度被称为“世界上最聪明的⼈”。
我们还可以利⽤数学⽅法将⼀张照⽚进⾏有趣的图⽚编辑。⽐如，给⼀张红叶的照⽚，再拿⼀张⻩叶树的照⽚提供⾊彩⽅案，就能得到⼀张⻩叶照⽚。在数学上，其实就是采⽤最优传输算法将⼀个概率分布转换为另⼀个概率分布，从⽽实现照⽚的转换。
读者们可能很难想象，微分⼏何这样的纯数学在图像处理中也发挥着巨⼤作⽤。传统的肠镜检查往往给病⼈带来痛苦和不适，让⼈望⽽却步。⽽虚拟肠镜技术利⽤CT扫描获得断层图像，经过分割和三维重建，即可得到肠⼦的三维模型。在物理上类似于把肠⼦给切割、抻开，从⽽在⼆维平⾯上进⾏病理检测。这种技术就是利⽤了数学的⾥奇流作为⼯具将弯曲的曲⾯保⻆地变换到平⾯上。
⾥奇流是美国数学家汉密尔顿1982年定义的，以意⼤利数学家⾥奇的名字命名。⾥奇流这⼀⼯具在俄罗斯天才数学家佩雷尔曼证明庞加莱猜想中发挥了巨⼤作⽤。佩雷尔曼是⼀位传奇的数学家，他拒绝接受菲尔兹奖，还拒绝了Clay研究所提供的百万美⾦的奖⾦。在通讯中，数学也起着⾄关重要的作⽤。通讯编码⽅式、天线设计、通讯资源优化配置等本质上都是数学问题。
我国在5G领域处于国际领先地位，⽽5G标准正是基于⼟⽿其数学家阿勒坎提出的极化码理论。
在战争中，能否破译敌⽅密码对战争的⾛势影响巨⼤。事实上，⽆论密码设计还是密码破译都是数学问题。⽇常⽣活中，常⻅的密码是摩尔斯电码，⽤“短”“⻓”两种电信号进⾏编码，在数学上就是⽤⼆进制来表示。短促的记为点“?”，⻓的记为“—”。最常⽤的是求救信号：“???”“— — —”“???”（SOS）。
⽤光信号同样可以⽤快速地闪三下，然后拉⻓时间闪三下，再快速闪三下来表示SOS。这也是野外徒步或探险往往会装备强光⼿电筒的缘由。发明这种密码的摩尔斯是美国画家，也是⼀位发明家。
谈到管理科学、⾦融经济等领域的发展，数学更是居功⾄伟。⾦融衍⽣产品的定价、投资理财等本质上都是数学问题，涉及到随机分析、统计、微分⽅程、运筹等等。众所周知，诺⻉尔奖没有数学奖。但不少数学家获得过诺⻉尔经济学奖。
其中之⼀是美国数学家纳什。他⼴为⼈知的主要原因是好莱坞电影《美丽⼼灵》就是以他的传奇故事为原型的。纳什创建了对策论的数学原理，即纳什平衡理论，该理论在商业决策中有着⼴泛应⽤。他也因此获得了1994年的诺⻉尔经济学奖。纳什还因其在微分⽅程⽅⾯的贡献获得了2015年的阿⻉尔奖。
⽣命科学中的许多重要问题，如蛋⽩质折叠、基因⽐对、药物设计等都需要利⽤数学⽅法。
以蛋⽩质折叠为例，仅知道基因组序列并不⾜让我们充分了解蛋⽩质的功能。⽽结构决定功能，因此获取蛋⽩质折叠后的三维结构⾄关重要。⽽蛋⽩质折叠的过程和最终结构都可以通过数学⽅法进⾏模拟和预测。上⾯许许多多的例⼦告诉我们，数学的确⽆处不在。⾃然和⽣活中出现的任何现象，我们都可以⽤数学理论、数学⽅法进⾏分析和解释。著名数学家拉普拉斯曾说过：“⼤⾃然的⼀切都是少数永恒规律的数学推论”。