现代数学家花了半个多世纪的时间，证明了一个优雅的定理：宇宙中的所有对称都可以分成四类。整个证明过程由上百名数学家完成，研究结果散落在数百篇论文中，总长度超过15000页。完全理解这一证明的数学家寥寥无几，而且都垂垂老矣——于是，他们开始了拯救计划，希望在这个证明消失之前进行精简归纳，传递给下一代数学家。
2011年9月一个凉爽的周五晚上，在朱迪丝·L·巴克斯特和她丈夫，数学家斯蒂芬·史密斯位于伊利诺斯州奥克帕克的家中，种类数不胜数的菜肴铺满了好几张桌子。晚宴中的四位数学家——史密斯、迈克尔·阿施巴赫、理查德·莱昂斯、罗纳德·所罗门——他们刚出版了一本书，延续着180多年来的工作，全面概述了数学史上最大的分类问题。
他们的专著并未荣登任何畅销书榜，这可以理解，毕竟这本书叫《有限单群分类》。但对于代数学家而言，这本350页的巨著是一座里程碑。它是一般分类证明的摘要，或者说是导读。完整的证明多达15000页——有些人说接近10000页——而且散落在由上百名作者发表的数百篇期刊论文中。它证明的结论被恰到好处地称为“宏伟定理”。
但现在它处于险境。2011年的这本著作只是勾勒出了证明的梗概。
实际文献无以伦比的篇幅将这个证明置于人类理解能力的危险边沿。“我不知道有没有人将所有东西都读过了，”所罗门说，他现在66岁，整个职业生涯都在研究这个证明。在庆功会上接受庆祝的所罗门以及其余三位数学家，可能是当世仅有的理解这个证明的人，而他们的年岁令每个人担忧。史密斯67岁，阿施巴赫71岁，莱昂斯也已经70岁了。“我们现在都老了，我们想在为时已晚之前，将这些想法传递下去，”史密斯说。
这种损失同样“宏伟”。简而言之，这项工作为群论这一门关于对称性的数学研究带来了秩序。而关于对称性的研究，又对现代粒子物理学等科学领域至关重要。标准模型是解释宇宙中存在的所有基本粒子的性质和行为的基本理论，它依赖于群论提供的关于对称的工具。在最微观的尺度上，有关对称的巧妙想法曾经帮助物理学家建立了一些实验中用到的方程，而这些实验又帮我们发现了一些奇异的基本粒子，比如组成我们熟悉的质子与中子的夸克。
同样是在群论的指引下，物理学家产生了一个令人不安的想法：质量——也就是这本杂志，你本人，以及你触手可及放眼可见的所有东西包含的物质的量——实际来源于某种基本层面上的对称破缺。循着这个想法，物理学家发现了近年来最有名的粒子：希格斯玻色子，只有对称在量子尺度上轰然崩塌，这种粒子才能存在。
有关希格斯玻色子的想法在20世纪60年代就从群论中浮现出来，但直到2012年才被欧洲核子研究中心的大型强子对撞机在实验中发现。
对称性这个概念，就是说某样事物能经受一系列变换——旋转、折叠、反射、在时间中移动——并在所有这些改变之后，看上去仍保持不变。从夸克的配置，到星系的排布，对称在宇宙中无处不在。宏伟定理以确定无疑的精确性证明，任意的对称性都能被分解并按照共性归类到四大类别之中。
在那些专注于对称性研究的数学家，或者说群论学家的眼中，这个定理是一个伟大的成就，无论是概括性、重要性还是基础性，都不逊于化学家眼中的元素周期表。
当然，前提是它不是像现在这样的一团乱麻。整个证明的方程、推论和猜想散落在超过500篇期刊论文中，有一些被埋在厚厚的书卷里，填满了希腊字母、拉丁字母以及其他用在复杂难懂的数学语言中的字符。给这场混乱雪上加霜的是，每位贡献者都有其自己特有的写作方式。
这团乱麻的问题在于，如果证明并非每个部分各在其位，整个证明就摇摇欲坠。要比较的话，想像一下组成吉萨大金字塔的超过两百万块石头杂乱地散落在撒哈拉沙漠上，只有寥寥几个人知道怎么将它们重新整合。
史密斯、所罗门、阿施巴赫与莱昂斯在2011年共同整理的提纲，正是一个雄心勃勃的存续计划的一部分，这个计划的目的就是让下一代的数学家也理解这个定理。“从某种意义上来说，今天绝大多数人把这个定理当成一个黑箱，”所罗门痛惜地说。计划的主要目标是将林林总总的证明碎片整合起来，得到一个精简过的证明。这个计划是在30多年前制定的，但直到现在还只完成了一半。
如果一个定理很重要，那么它的证明更是加倍重要。证明确立了定理的真实可靠性，也让数学家能令他的同行确信某个陈述的真实性，哪怕远隔重洋，甚至跨越世纪。这些陈述又孕育出新的猜想与证明，令数学的合作精神能延续千年。英格兰华威大学的因娜·卡普德博斯克正是投身于这个定理之中寥寥可数的几位年轻研究员之一。她现年44岁，语气温和，充满自信，在谈起理解宏伟定理为何正确的重要性时，两眼放光。
早在19世纪90年代，数学家就开始梦想证明这个定理，当时名为群论的新领域刚刚站稳脚跟。在数学中，“群”用于指代一个集合，它的元素之间有着由某种数学运算带来的联系。如果你将这个运算应用到群中任何一个元素上，得到的还是群中的另一个元素。对称操作，或者说不改变某个物体外观的运动，正好符合这个要求。作为例子，假设你有一个立方体，每条边都涂上了相同的颜色。
将这个立方体旋转90度，或者180或者270度，旋转之后的立方体看起来与原来一模一样。总共有24种不同的旋转方式不会改变立方体的外观。这24种旋转构成了一个有限群。
有限单群就像原子。它们是构成其他更大的东西的单元。有限单群组合起来，就会变成更大、更复杂的有限群。就像元素周期表一样，宏伟定理将这些群整理出来。它断言每个有限单群都属于三个类别之一——或者属于由疯狂的离群者组成的第四个类别。
这些离群者中最大的一个被称为魔群，它的元素个数超过1053，存在于196883维空间中。第一个有限单群是在1830年之前被发现的，到了十九世纪90年代，数学家对这些基础构件的追寻有了新的进展。
20世纪早期的数学家为宏伟定理奠定了基础。然而，定理的证明主体直到20世纪中叶才开始成型。在1950年与1980年之间，一群重量级的数学家将群论这个领域推进到了前所未及之处。他们发现了许多有限单群，并为它们分好了类。这些数学家把手上长达200页的手稿当作“代数砍刀”，在抽象的密林中披荆斩棘，揭示对称性最深层次的基础。
四个宏伟的类别对称性能分解为基本的单元，它们被称为有限单群，就像化学元素一样，它们的不同组合构成了更大更复杂的对称性。宏伟定理将这些群整理为四个类别。尽管证明非常冗长，定理本身仅仅是列出了所有四个类别的一句话：“所有有限单群要么是素数阶循环群，要么是交错群，要么是有限李型单群，又或者是二十六个散在有限单群之一。”
循环群是最初被归类的基本单元。交错群来自集合中元素的调换。李型群的名字来自十九世纪的数学家索弗斯·李，它们更为复杂。这些群与所谓的无限李群有关。散在单群是由不能归类的群组成的类别。它包含26个与其他类别格格不入的例外。最大的散在单群叫魔群，它的元素超过1053个，能在196883维的空间中被忠实地表达出来。
证明中两个最关键的里程碑正是出现在这数十年间。在1963年，数学家沃尔特·费特和约翰·汤普森阐述了寻找更多有限单群的方法。在这个突破之后，戈伦斯坦列出了一个证明宏伟定理的十六步方案——这个计划将一劳永逸地让所有有限单群各就其位。心怀大计的人但戈伦斯坦是个具有超凡号召力的代数学家，他的远见令新的一群数学家热血沸腾。
所罗门说自己对群论是“一见钟情”，他遇到戈伦斯坦是在1970年。当时美国国家科学基金会正在鲍登学院举办一个关于群论的暑期学校。所罗门说，在1972年，大多数数学家认为那个证明到二十世纪末也完成不了。但四年后，终点已然在望。戈伦斯坦认为，证明加快完成主要应归功于加州理工大学教授阿施巴赫创造性的方法与狂热的步调。
在1981年，戈伦斯坦宣布证明的初版已经完成，但是他的庆祝为时过早。在某篇特别棘手的800页论文中出现了一个问题，人们几经争论才将它成功解决。戈伦斯坦很快看出这个定理的文献已经变成一团四处蔓延毫无秩序的乱麻。这是毫无计划的发展所导致的结果。于是他说服了莱昂斯——然后在1982年他们两个突然拉上了所罗门——来一起打造一个修订版，让证明的陈述变得更易懂更有序。
戈伦斯坦设想着完成这样一套著作，它们将所有迥然不同的片段整齐地收集起来，精简整个逻辑以去除不规范与冗余之处。在20世纪80年代，除了那些曾经奋战在证明前线的老将以外，没有人理解整个证明。戈伦斯坦担心他们的工作将会佚失于封尘的图书馆内厚重的书籍中，第二代证明将平息他的忧虑。
第二代证明的第一卷在1994年出版。它比一般的数学著作更侧重解释，在预计能完全容纳宏伟定理证明的30节内容中，它只包含了两节。第二卷在1996年出版，之后的卷目延续到现在——第六卷在2005年出版。所罗门和莱昂斯在2015年的夏天完成了第七卷，而一小群数学家已经开始着手第八卷和第九卷了。
所罗门留意到，这共计10或者11卷的著作仍然不能完全涵盖第二代证明。即使是精简过的新证明仍然引用了增补的卷目和以前在别处证明的定理。某种意义上说，这种延伸正体现了数学是在不停积累的：每个证明都不仅是当时的产物，还牵涉此前数千年以来的思考。
在《美国数学学会通报》2005年的一篇文章中，伦敦国王学院的数学家E·布莱恩·戴维斯指出“这个证明从未被完整写下来，可能永远也写不下来，目前看来，也没有任何人能单枪匹马地理解它”。他的文章提及了这个令人不安的想法：有些数学工作可能复杂到了让凡人无法理解的地步。戴维斯的话促使史密斯与他的三位合作者写下了在奥克帕克的聚会上众人庆祝完成的那本相对简明扼要的著作。
宏伟定理的证明可能超出了绝大部分数学家的能力，更不用说那些好奇的数学爱好者了，但它整理出的原理为未来提供了一个无价的工具。数学家长久以来就习惯了这样的情况，他们证明出来的抽象真理往往要在数十年甚至数百年之后才能在本领域以外得到应用。
“未来会很让人兴奋，原因之一是它难以预测，”所罗门说，“未来的天才们会带来我们这一代人中没有人想到过的主意。有一种诱惑，一种愿望和梦想，它会告诉我们，还有更加深刻的理解方法等待发现。”