抽象代数课如果只是死记硬背一些自己根本不懂的定义，没有例子，没有计算，不会解决任何问题，这样的抽象代数只能给零分。抽象代数能不能有既体现数学本质、又引人入胜的例子？本文介绍的就是这样的例子。
某校有一个被保送读研的学生参加我们的面试。我问她哪门课程学得最好。答曰“抽象代数”。不等我问问题，她就开始自问自答，开始背诵群的定义。我马上制止她，说不要你背定义，只要你举例。让她举一个非交换群。举不出来。举一个有限域，举不出来。我说：这两个例子举不出来，抽象代数零分!
她大惑不解，说：“抽象代数就是没有例子嘛！”她大概认为我学的是假的抽象代数，她学的真的抽象代数就是死记硬背一些自己根本不懂的定义，没有任何例子，不解决任何问题，也没有任何前因后果。
如果只是少数学生这样认为，可以怪她自己学得不好。问题的严重性在于：持这样观点的学生不是一两个，也不是10%-20%，我估计：学习抽象代数的大学生中有90%都持这种观点，只不过这个学生将这种观点总结得特别明确、特别精彩而已。这恐怕就不能怪学生，而应当从教材和教学中找原因了。
现有的抽象代数教材，不是没有例子。这些例子本来就很精彩。
三等分角的尺规作图，五次方程的求根公式，这是迄今为止一些“民间科学家”还在花费毕生精力苦心钻研的世界“难题”，早就被抽象代数解决了，这还不够精彩吗？密码、编码中的理论和实践，抽象代数大显身手，也够精彩了。但是，这些精彩问题的解答叙述起来太难，学生不容易懂。要讲清楚，课时也不够。
只有少数名牌大学的抽象代数课程还稍微讲一些，在其余的学校，就将抽象代数这些精华和灵魂砍掉了，只剩下最容易讲的：让学生死背一些自己也不懂的定义。考试也不考用知识解决问题，只考背定义。抽象代数就不是数学课，而是识字课，只要死记硬背就行了。金庸的武侠小说《射雕英雄传》中的武功秘籍《九阴真经》中有一段用梵文写的话：“努尔七八，哈瓜儿，宁血契卡，混花察察，学根许八涂，米尔米尔。
”只要认识字，小学生也可以花功夫死记硬背下来，但是根本不懂它的意思，更不可能照着去练习，难道就因为背熟了这些句子就成了武功高手吗？显然不是。同样，死记硬背抽象代数教材中的定义而根本不懂它的意思，举不出一个例子，不会用来解决任何一个问题，这样学习的抽象代数就是假冒的，通通都应当给零分！
这些年来，我们在抽象代数课程建设中所做的全部努力，就是要破除这种“就是没有例子”的假抽象代数。我们取得的主要成绩，就是积累了一批既能体现数学本质、又为学生喜欢的案例。下面是其中的一部分案例。
1. 我在抽象代数考试中考过这样的题：将如下的3阶幻方通过旋转和轴对称变出尽可能多的不同的幻方。这不是考小学奥数。而是考正方形的对称群：旋转90o, 180o, 270o得到3个新的幻方，关于第2行、第2列、两条对角线做轴对称得到4个新的幻方，包括原来的幻方在内一共可以得到8个。
2. 许多人说有限域是抽象代数最后一节课讲的，最难，没学好情有可原，考试也不应当考。
其实有限域最容易讲，最有趣，最有用，最有抽象代数味道，可以在抽象代数课第一节课第一分钟讲。我的抽象代数考试每次必考有限域。小学生都懂得奇偶数的运算规律：偶+偶=偶，偶+奇=奇，奇+奇=偶；偶×整数=偶，奇×奇=奇。将偶数用0表示，奇数用1表示，就得到：0+0=0, 0+1=1, 1+1=0；0×a=0 (a=0或1)，1×1=1。
按这样的运算公式，两个元素0,1组成的集合Z2就对加、减、乘、除封闭，Z2就是二元域，最简单的有限域。
3. 密码的重要性不容置疑，神秘性也令人向往。最早的一种简单密码是凯撒设计的，加密方案是将每个英文字母用它后面第3个字母代替。将26个字母依次用整数模26的各个同余类表示，凯撒密码的加密就可以用最简单的加法函数y = x+3表示，解密函数为x = y－3。
更进一步，可以用Z26上的一次函数y=ax+b加密，其中a可逆，称为仿射密码。例如3×9 =1就说明9=3-1，加密函数y=3x+5的解密函数就是x=9(y-5)。
4. 中学数学强行定义i2 = –1，不解释这种定义的合理性。其实，很容易给出i2 = –1的一个几何解释：–1乘向量是向后转180度；用i表示向左转90度, 则i2就是向后转180度，就是–1。
这其实是将虚数单位i用“左转90度”的线性变换i表示，还可以将线性变换i用矩阵表示。从复数a+bi到线性变换a1+bi再到矩阵的对应关系保持加、减、、乘运算从而也保持求逆运算，是复数域C与它的几何版本(由线性变换组成)和矩阵版本(由矩阵组成)之间的环同构、域同构。
5. x15－1在复数范围内分解为一次因子的乘积，每个一次因子x－对应于一个15次单位根，每个在乘法群中的阶d都是15的因子，共有4个不同的值1,3,5,15。将15个根按阶的不同值分成4类，以阶是d的单位根为根的一次因子的乘积记为，称为分圆多项式，分别等于都是有理整体系数多项式。分解为这4个有理系数因式的乘积。
6. 分数化小数，得到的无限小数为什么一定循环？循环节的长度有何规律？这是小学算术中的问题。其中的奥妙却需要抽象代数来解释。怎样描述小数的循环性质？例如，无限循环小数a=0.090909…以09为循环节，这可以描述为：将a的小数点往右移动两位得到的102a=9.0909…与a的小数部分相同，差102a－a=09为整数，并且就是循环节。