分形是一个很复杂的几何结构，连它的维数都可以不是整数。但奇怪的是，这么复杂的几何结构，在自然界中几乎无处不在，如下图的海岸形状。木星表面的云层结构，也是个分形结构。其他常见的分形结构，包括河流：树枝：在铁磁相变点的磁矩分布：最简单的分形也许就是数学构造的Koch（科赫）曲线：分形的一个最重要的数学性质，就是分形维数。
考虑一个长度为1的线段，如果我们也用一个长度为1的尺子来测量这个线段，那么这个线段只包括一个单位。如果我们把测量线段的尺度缩小到原来的三分之一，那么线段就包括三个单位。但是在二维，考虑一个大小为1的正方形，如果我们也用一个长度为1的尺子来测量这个正方形，那么这个正方形只包括一个单位。如果我们把测量正方形的尺度缩小到三分之一，那么正方形就包括九个单位。
我们发现，在一维，尺度每缩小到三分之一，单位数就增加到三倍。而在二维，尺度每缩小到三分之一，单位数就增加到九倍。
有了这种通过缩小尺度来测量维数的办法，我们问Koch曲线的维数是什么？这时候我们发现，尺度每缩小至原来的三分之一，单位数就增加到四倍。所以Koch曲线的维数是在1和2之间的一个数。这个数的数值为log(4)/log(3)=1.261859。这就是Koch曲线的分形维数。
数学上最有名的分形应该是Mandelbrot（曼德尔布罗特）集合。下面的视频带你进入一个震撼的分形世界。这里你可以感受到不同尺度下的Mandelbrot集合，以及其内涵的尺度不变性和结构的丰富性。尺度不变性和结构的丰富性是分形的最
大特征。视频来源于youtube。参考文献：https://en.m.wikipedia.org/wiki/List_of_fractals_by_Hausdorff_dimension。本文原载「赛先生」。