偏微分方程：宇宙客观真理的化身
叶高翔
赛先生
2016-07-23 07:26:42
作者 叶高翔 (浙江大学理学院物理系教授、博士生导师，浙江科技学院校长)
一般而言，人类的科学事业大致可分为两个阶段：第一阶段是从公元前3000年至公元16世纪，我们把它称为经验科学阶段；第二阶段是从16世纪至今，科学发展进入了一个突飞猛进的阶段，我们称之为精确科学阶段。
在经验科学阶段，人类的科学事业处于初级发展时期，科学发展主要依靠人的“经验”。经验从实践中来，一般以定性为特征，很少采用精确数字描述，基本不用数学，至多采用初等数学。经验科学的一般范式可归纳如下: 因为前人操作A过程得到B结果，所以后人也可以操作A过程得到B结果，并且A过程和B结果均为定性或半定量描述，带有主观痕迹。
在经验科学阶段，人类在陶瓷、冶炼、火药、造纸、古代医术、几何光学、静磁学、静电学、天文学、声学等方面取得了许多重大突破。
在古代中国，中医学的发展带有鲜明的经验科学特征，例如战国时期成编的《黄帝内经》、明朝时期成书的《本草纲目》等均为典型的经验科学论著。中医的明显疗效使人们确信此类经验方法的有效性，并在过去几千年的历史长河中不断发展和传承。
从精确科学的角度来看，中国古代发明的狗皮膏药对关节炎等疾病的治疗原理是现代物理学中“原子分子扩散原理”的最早应用，而扩散原理偏微分方程的建立和精确求解则是在牛顿和莱布尼茨发明微积分理论之后完成的。
16世纪以后，人类对自然规律的揭示向纵深发展，精确科学研究范式逐渐成形。据说在1590年，意大利物理学家伽利略曾在比萨斜塔上做自由落体实验，将两个大小不同的铁球从塔顶相同高度同时扔下，结果两个铁球同时着地，由此发现了自由落体运动的规律。此外，伽利略还发现了经典力学中的相对性原理、惯性定律和运动合成原理，发明了望远镜、温度计，证明了“日心说”、太阳自转等。
尤其是他把数学方法与实验测量相结合，将理论与实验相互映证，开创了现代精确科学的研究范式：(a) 精确实验，总结实验规律；(b) 提出假说，定量解释实验规律；(c) 根据假说，利用数学演绎和逻辑推理，获得推论或预言；(d) 对推论或预言进行客观、精确定量、任意可重复的实验检验；(e) 修改理论及假说；(f) 实验检验假说和理论。
上述精确科学研究范式由伽利略率先倡导，后人不断完善而成，故也被称为“伽利略科学研究范式”，它是现代一切自然科学的一般研究范式。该范式要求对实验和理论进行客观、精确定量、任意可重复地循环对比、修正和提高，从而不断提升理论与实验的精确程度和符合程度，最终揭示宇宙客观规律(真理)。
现代文明创造了一个又一个精确科学的奇迹，如太空飞船与处于某轨道上的太空实验室对接、高超音速导弹拦截、超大规模集成电路制备、原子分子操作、转基因技术等。
现代科学对精确度的追求永无止境。
目前，量子力学中普朗克常数的最新测量值为h = 6.62606876(52)×10-34焦耳·秒;电子磁矩的最新测量值为μe= 1.001159652193(10)μB，其中μB为一个常数；从伽利略开始，人们对光速测量一直抱有浓厚兴趣，现在测得的最高精确度为c =299792458米/秒；目前人类对电压的测量精确度约为10-17伏特，对磁场的测量精确度约为10-15特斯拉，对空间距离的测量精确度约为10-10米，对时间的测量精确度约为10-35秒，如此等等。
人们仍不满足，测量精确度仍在不断提高。
在上述精确科学研究范式中，有一个过程十分苛刻：利用数学演绎和逻辑推理获得推论或预言，并与更精确的实验进行客观、精确定量、任意可重复的反复验证。换言之，精确科学不仅要求实验测量越来越精确，而且要求理论越来越能够精确描述、计算、演绎并预测实验规律，揭示实验现象背后的深层宇宙规律。
16世纪以后，以微积分为代表的现代高等数学开始诞生并不断发展，为精确科学的发展提供了强有力的支持。可以说，几百年来，精确科学紧紧伴随着高等数学的发展而发展。
爱因斯坦的相对论是精确科学的理论典范，其中采用的现代高等数学包括微积分、线性代数、张量分析、群论、拓扑学、微分几何等，其所得结论的精确度令世人赞叹不已!迄今为止，诸如“引力红移”、“光线弯曲”等已得到极高精确实验的验证。此外，还有其它诸多精确的理论预言，如引力子等，由于精确度太高，实验难度极大，迄今尚未得到实验的直接验证。
人们不禁要问：为什么要花费如此大的代价，任意可重复地进行精确的实验并与精确的理论循环验证呢？事实上，精确的实验测量数据与严密逻辑的高等数学演绎，两者将实验与理论进行客观、精确定量、任意可重复地循环验证;而实验数据测量越精确，重复次数越任意，与高等数学精确演绎结果越吻合，越能揭示本质性宇宙客观规律，由此建立的科学理论也越逼近宇宙客观真理。
随着精确科学的不断发展，一个又一个宇宙客观真理相继被揭示。
人们发现，在实空间中，宇宙客观真理一般由偏微分方程描述。例如，宇宙中一切宏观低速的机械运动均可由牛顿方程描述。经典电磁场运动规律由麦克斯韦方程组描述，它揭示并统一了宏观的电、磁、光的运动规律。
量子力学中的薛定谔方程是描述微观、低速情况下物质运动普遍规律的二阶线性偏微分方程，如下式所示：其中Ψ为波函数，r为空间坐标向量，x、y、z为三维空间坐标，t为时间，m为微观粒子的质量，V为势能，虚数单位i = ，约化普朗克常数焦耳·秒。薛定谔方程在量子力学中的地位如同牛顿方程在经典力学中的地位一样。
综上所述，精确描述宇宙客观真理的是一个个不同类型的偏微分方程。根据不同的边界条件，经过严格且巧妙的数学求解和演绎，便可获得一个又一个科学推论，解决一个又一个科学问题，创造一个又一个人类文明的奇迹。因此，这些偏微分方程当之无愧被誉为“宇宙客观真理的化身”!