提到数学之美，你会想到哪些关键词？可能每个人对数学及美的理解都不尽相同。中国科学院院士、中国科学院数学与系统科学研究院研究员袁亚湘所著《数学漫谈》一书记录了这位数学家对于数学之美的理解和诠释，今天我们推送这本书的第二章，让袁院士带我们领略数学之美的所在——对称、简洁、极致。几乎所有的数学家都认为数学是优美的。学过泛函分析的学生都知道著名的Han-Banach定理。
这个定理的提出者巴拿赫曾说过，“数学是人类最美及最有力的创造”。数学的美体现在很多方面，其中之一是对称美。对称是自然界之美的一种表现形式，在动物、植物以及自然景观中，对称的现象随处可见：美丽的蝴蝶、灵动的蜻蜓、开屏的孔雀都是左右对称的；宽大的荷叶、火红的枫叶等许多植物叶片也是对称的；晶莹的雪花、横空的彩虹同样是对称的。自然界中对称的例子比比皆是。对称在数学中随处可见。
古希腊著名哲学家亚里士多德曾说过：“数学科学特别表现次序、对称和限制，这些是美的最高形式”。几何中很多图形具有对称性，比如平面上的长方形、圆形、等腰三角形，立体图形中的立方体、圆柱体、球体等。平面上的对称图形有一条或多条对称轴，而对称立体图形则有一个或多个对称面。高维空间中人们所研究的集合不少也有对称性。
代数中也有大量的对称，从小学的a乘b等于b乘a，到中学的对称多项式，乃至大学的对称矩阵、对称群等等都是对称的例子。对称性还为数学中的许多分析技巧、证明方法提供了思路。上述亚里士多德在谈对称时，还提到了次序。“序”是数学中重要的概念，有序的事情是和谐的、美好的。德国数学家、哲学家莱布尼茨曾说过：“次序、对称、和谐让我们陶醉，……上帝是纯粹有序的，他是宇宙和谐的缔造者。”数学的另一种美是比例美。
中小学教授的几何都属于欧氏几何，是源于古希腊数学家欧几里得对欧式空间中的几何性质的系统研究。欧几里得在其《几何原本》中给出了一个称为“中末比”的比例，它的定义是源于：一条线段上的点把其分为两段，使得长段的长度与短段长度的比值正好等于整个线段的长度与长段长度的比值，这个比值就是所谓的“中末比”。简洁美也是数学的美之一。很多数学公式非常简洁。
譬如欧拉公式：一个短短的公式就把数学中的几个最重要的量：欧拉常数e, 虚数i，圆周率π，以及1和0都联系在了一起。另一个简洁而又奇妙的公式是欧拉点线面公式。它刻画了多面体的顶点数V、棱数E以及面数F的内在关系：顶点数减去棱数，再加上面数之和等于2。牛顿定律F=ma同样也是一个简洁的公式。它阐述了经典力学中的基本运动规律，其意义是物体受到的作用力F等于其质量m乘以加速度a。
优美数学公式体现在物理中的例子还有麦克斯韦电磁场方程（组）：简单的四个方程就给出了电磁场理论的精确数学表达，展示了电场与磁场相互转化中产生的对称美。数学的美还体现在数的奇妙。让我们先从勾股定理谈起：设直角三角形的三条边分别是3、4、5，三条边长满足3的平方加上4的平方等于5的平方。我国东汉末年至三国时期的东吴数学家赵爽在《周髀算经注》中明确给出了勾股定理的描述：“勾股各自乘，并之，为弦实。
开方除之，即弦。”他还利用弦图给出了勾股定理的证明：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实。”2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，会议的会标就是基于弦图设计的。中国科学院数学与系统科学研究院的院徽也是这个图案。勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，是因为有人认为该定理是古希腊哲学家、数学家毕达哥拉斯所发现，而且把如下的证明归功于他。
该证明把四个勾股弦分别为a、b、c的三角形围成一个边长为a+b的大正方形。中间的空隙是一个边长为c的小正方形。利用大正方形面积等于小正方形加上四个三角形面积这一关系，就可以推导出勾股定理。注意，弦图是把同样的四个三角形围成一个边长为c的正方形。这两种证明勾股定理的几何方法殊途同归。本质上，它们一个利用了(a+b)2、另一个利用了(a-b)2的展开公式。
其实，没有任何证据能够认证毕达哥拉斯曾证明过勾股定理。但史料表明，毕达哥拉斯显然知道勾股定理，很可能他是从古巴比伦人那儿得知这一美妙的结论。类似于（3，4，5）这种能构成直角三角形三个边长的数组称为毕达哥拉斯数。可以证明，存在无穷多组毕达哥拉斯数，如（5，12，13），（9，40，41），（11，60，61），（13，84，85）等等。
有趣的是，如果我们把勾股定理中的平方换成三次方，就找不到这样的整数组满足规律了。费马大定理描述的就是这个结论：x的N次方加上y的N次方等于z的N次方这个等式在N大于2时不存在正整数解。费马是法国业余数学家，他大学是学法律的，30岁时出任图卢兹议会议员，之后还担任图卢兹法院法官。他经常利用业余时间研究数学问题，和笛卡尔（1596-1650）、梅森（1588-1648）通信讨论数论问题。
费马在他收藏的丢番图《算术》一书的书眉上写下了费马大定理的描述，但未给出证明，而是留下了一句话：“我确信已发现一种绝妙的证明，可惜此处空白太小写不下”。殊不知这句话背后的定理证明让无数数学家为之冥思苦想，直到三个半世纪后的1994年才由英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）给出完整证明。另外一个神奇的数论例子是哥德巴赫猜想。
哥德巴赫出生于普鲁士的哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒），也就是欧拉七桥问题的所在地。歌德巴赫35岁起担任圣彼得堡皇家科学院的数学和历史学教授。三年后赴莫斯科任沙皇的私人教师。42岁起一直在俄国外交部任职。可见，他也是利用业余时间研究数学。1742年，哥德巴赫在给欧拉的信中提出了哥德巴赫猜想：任何大于2的数可以写成三个素数（编者注：也称质数，只能被1和其自身整除）之和。
因为在哥德巴赫那个时代，1也是一个素数，所以哥德巴赫猜想在如今的表述是：任何大于2的偶数可以写成两个素数之和。如果用“1”来代表一个素数，哥德巴赫猜想就可以简称为“1+1”。这个猜想的描述虽然简单，但却是世界级难题，被称为数学皇冠上的明珠。近300年，经过了无数知名数学家的努力，至今依然还没有被彻底证明。针对哥德巴赫猜想这一世界难题，我国先后有几位数学家做出了巨大的贡献，包括王元、潘承洞、陈景润。
特别值得一提的是，陈景润于1966年证明了“1+2”，这一结果至今仍是哥德巴赫猜想问题的最佳进展。“1+2”就是指：所有充分大的偶数都可以写成一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和。干净、整洁也是美的重要因素。打个比方，如果一个人的脸上、身上到处都脏兮兮的，无论长相如何，大家都不会认为这有多美。而数学之所以被认为是优美的，与它的整洁之美不无关系。
众所周知，数学证明必须干干净净，经得起推敲，没有任何瑕疵。英国哲学家、医生、自由主义之父约翰·洛克将数学证明的坚实、干净和无暇比作钻石，可见他对数学证明的欣赏。洛克有很多著名的论著，包括《人类理解论》和《政府论》。可以说，他的理论激励了美国革命和法国大革命，对美国宪法和《独立宣言》都有极大的影响。这么一位闻名于世的哲学家和思想家把数学的证明比作钻石，可见数学的确是美不可言。
数学的美是极致之美，它就像一个高高在上、冰肌玉骨的冰山美人。这种说法可以追溯到英国数学家、逻辑学家罗素。罗素是一位闻名遐迩的哲学家、文学家，他曾获得过诺贝尔文学奖。罗素说过，数学不需修饰、高冷得像座雕塑。在他眼里，其他的艺术，包括舞蹈和音乐等都不如数学美丽，只有雕塑才能与数学媲美。文至此处，读者或许会有疑问，数学如此美妙，为何很多人并未感同身受呢？事实上，欣赏美需要了解的过程和鉴别的能力。
正所谓，盲人不会认为眼前的风景值得流连，动听的音乐不会掀起聋人的波澜心情，一个从小到大不吃辣的人无法理解我这个湖南人口中的辣椒美味。欣赏数学也是一个道理。如果你从不曾走进数学的世界，用心领会和感悟那数字、图形、逻辑的出神入化，又怎么会觉得它美妙呢？