莱布尼茨和牛顿，图片来自thegreatcoursesdaily.com
撰文 | 史蒂夫·斯托加茨（美国康奈尔大学应用数学系教授）没有微积分，我们就不会拥有手机、计算机和微波炉，也不会拥有收音机、电视、为孕妇做的超声检查，以及为迷路的旅行者导航的GPS（全球定位系统）。我们更无法分裂原子、破解人类基因组或者将宇航员送上月球，甚至有可能无缘于《独立宣言》。
有一种罕见而有趣的历史观点认为，世界被一个神秘的数学分支彻底改变了。一个最初与形状相关的理论最终又如何重塑了文明？
我们可以从物理学家理查德·费曼的一句妙语中洞见这个问题的答案……宇宙是高度数学化的……无论如何…我们的宇宙遵循的自然律最终总能用微积分的语言和微分方程的形式表达出来…这类方程能描述某个事物在这一刻和在下一刻之间的差异…艾萨克·牛顿是最早瞥见这一宇宙奥秘的人……自牛顿以来每当有新的宇宙奥秘被揭开我们就会发现同样的模式一直有效从古老的土空气火和水元素到新近的电子夸克黑洞和超弦,一切无生命的东西都遵从着这些定律我敢打赌这就是费曼说“”时想要表达的意思如果有什么东西称得上世界的永恒之谜那么非莫属图片来自Caltech Archives人类在不经意间发现了这种奇怪的语言先是在几何学的隐秘角落里后来是在大自然密码中然后学会熟练地运用它并破译了它的习语与巧妙之处最后利用它的预测能力去重构世界这是本书的中心论点如果这个论点是正确的那么它意味着关于生命,空间时间万物的终极问题并不是42为此我要向道格拉斯亚当斯和《银河系漫游指南》的粉丝致歉但深思解题思路是对的这个故事展现了一个将会反复看到的主题人们常说数学就是科学的语言这是非常有道理的在电磁波例子中对麦克斯韦而言将他在实验中发现定律转化为用语言表述方程至关重要但是类比做法并不全面不仅是一种强大推理系统依据某些规则进行各种符号运算可以帮助实现转换这些规则扎实的逻辑根基尽管看上去只是随机变换位置实际上构建出复杂论证过程简便方式如果我们足够幸运娴熟以正确方式进行操作就可以揭示隐藏含义对来说就好像操控给它们做按摩竭力让放松下来最后洞察秘密希望敞开心扉跟交谈离不开创造力通常不清楚应该哪些操作选择无数种尽管所有合乎逻辑其中只有一部分能揭示科学真相因为根本不知道自己寻找什么除了毫无意义之外很可能结果也得不到幸运的是的确含有待揭露秘密适当刺激下吐露出波动此时再次掌控主导权当把抽象符号转换回现实做出预测作为一种不可见的行波电磁一起光速传播接下来几十年里改变整个地球上生活一切都始于曲线之谜在这里指任何形式比如橡皮筋结婚戒指漂浮气泡花瓶轮廓或者一根意大利香肠为了物体尽可能简单早期几何学家通常只专注于探究它们的抽象理想化曲线形状忽略厚度粗糙度和织构即使在这些假设条件下也会带来令人困惑概念性难题因为并非由平直部件构成三角形正方形很容易理解立方体也一样计算周长表面积或体积也不是一件难事不管古巴比伦埃及中国印度希腊还是日本全世界都知道如何解决这些问题圆形则很棘手没人知道该何处着手也找不到便于理解的平直部件总之所有弯曲东西都难以捉摸就是在这样的背景下诞生的萌生于圆度好奇心挫败感圆球体和其他曲面是他们那个时代喜马拉雅山脉这并不是说造成了什么重大实际问题至少一开始不是而是激发冒险精神就像攀登珠穆朗玛峰探险家一样之所以想解决是因为就在那里有些坚持认为事实上由平直部件构成带来了突破性进展虽然这不是事实但我们假装它是真的唯一的问题在于必须无穷小数量无穷多通过巧妙的构思诞生了对发展历程不过本质早在萌芽期就简单直观地展现出来了如果我们让显微镜镜头不断接近可观测到那部分看起来就会变得平直到达极致程度之后逐一解决剩下挑战重新组合起来难度往往会大一些但至少不会像原始问题那样难因此可分为两个步骤切分重组学总是涉及无限精细减法运算量化各部分之间差异叫作用于处理各个整合成原来整体这部分称作策略可用于能够想象做无尽切分类事物这类被称为连续比如正边缘悬索桥钢梁餐桌上逐渐冷却一碗汤飞行中标枪抛物线轨迹活着时光形状物体液体运动间隔等全部几乎都是对象请注意背后真相钢铁实际上并不连续日常生活尺度上看似乎如此但在原子或超弦尺度上并非如此忽略了不便大有帮助正如将在后文中看到的那样偏好有用虚构更广泛地说类型包含了我们想到几乎所有东西可以描述不间断滚下斜坡光束水中传播蜂鸟翅膀飞机机翼周围气流使空中飞行患者开始采取药物联合疗法血液HIV颗粒浓度接下来日子持续下降每种情况下采取策略一样先把复杂而连续切成无穷多个分别求解再把结果放在一起现在终于可以阐明伟大理念为了探究任意一个无论多么狂野复杂把它重新想象成组成分析然后把加在一起就能理解最初的这一切难点就在于需要打交道这件事容易做到很难虽然谨慎有限制地利用秘诀但它最头疼事情就像科学怪人中的怪物犹太民间传说石巨人表现人类狂妄自大故事不可避免会攻击创造出他们意识到危险仍然发现魅力不可抗拒当然偶尔发狂带来悖论困惑哲学灾难每次都能成功征服重回正轨一切总会变好给出正确答案有时候就连也无法解释原因驾驭力量欲望一条贯穿年历史叙事线索由于常常把精确绝对理性学科所以讨论似乎不太恰当理性产物而非一开始并非如此创造力直觉相比其他更多落后情况这让显得尤其易近那些研究天才看起来常差多少围绕丰硕证明了纯粹价值关于变化探索达到了程度自然而然出现在飞行球的火星围绕太阳旋转椭圆轨道欧洲文艺复兴后期蓬勃发展之时还出现可根据需要弯曲聚焦光线凸透镜于是人们开始第二大地球上太阳系中最简单的数值模式钟摆记录加速下降过程绘制天空运行轨迹强化了大自然具有深厚主张唯一没有人已知知识来完成这项任务在于不稳定速度一直在变靠近更快远离减慢那时不知道该如何处理这种不停改变的运动已经得出了距离等于乘以公式但是当持续不断地时候一切都变得不确定事实证明也是一座概念上的珠穆朗玛峰将会中间章节里看到进步源于探索这一次又一次挺身而出这次假设是由组成的为了让直观说明这句话意思坐在一辆新手司机驾驶汽车车速忽快忽慢紧张盯着里程表每一次颠簸上下移动毫秒内即便是技术最差人也无法大幅移动那么在比短得多间隔内根本不会动因为没有那么快踩油门想法共同构成了前半部分不仅研究不断变化所需理论解析主要代数定义风靡一时确实一度令人疯狂普及包括在内福祉但也诸多难以驾驭新等待们去探寻位于舞台中央相互撞击引发混乱喧嚣走出之后渐趋成熟仍有争议草率受到批评嘲笑拼接争吵声断续非常缓慢拯救者圣诞节那天出生完全不像英雄早产儿没父亲又被遗弃消沉孤寂男孩就这样长成了沉默寡言猜疑心年轻人名叫日后会在世界上留下空前绝后的印记先是解决了圣杯发现了方法而且是快速系统性的表示成条简单食材仅用些烹饪他想要的任何有了统一天掀起了启蒙运动西方文化哲学家诗人产生了巨大影响甚至影响了托马斯杰斐逊起草在我们的时代凯瑟琳约翰逊及其同事小说热门电影女主人公设计飞船轨道思想提供了必要巩固基础转向第三个永恒不变唯有尽管老生常谈依然是真理今天明天上涨下跌鼓励提出了一些是否存在类似于规律适用于人口增长流行病动脉血液流动吗神经纤维传导公路交通流量执行计划过程中与其他合作贡献观察实验科学家得出求解做出例如年阿尔伯特爱因斯坦应用于简单的模型从而神奇效应阐述某些情况下穿过物质激发出更多相同方向大量形成强烈连锁反应第一台建成从此起光盘播放机武器超市扫描仪医用设备离不开医学领域为人熟知然而即便基本模型也能挽救例如后面会看到免疫学建立针对现代三联疗法起到作用推翻休眠状态主流观点事实上每时每刻都在激烈战斗提供认识帮助那些有机会采取联合感染已经死刑转变控制慢性疾病不可否认身处之中方面超出固有近似性和主观愿望想法比如亚原子领域不能再像行星炮弹那样沿光滑路径经典粒根据量子力学抖动模糊不清确定所以我们概率不再遵循定律然而归来通过演化过程现在是时候深入了解起点站