“尊敬的阁下，我不远千⾥特意来到此处拜访您，我⾮常佩服您的聪明才智，您不愧是推动天⽂学发展的第⼀⼈。”这是苏格兰贵族亨利·布⾥格斯(Henry Briggs，1561—1630)第⼀次⻅到对数的发明者约翰·纳⽪尔(John Napier，1550—1617)时，对他的问候。对数的确是⼀项⾮常有实⽤价值的发明，不仅在天⽂学领域，在其他需要⼤量计算的科学领域也是如此。
在电⼦计算设备出现之前，对数给科学家带来了很⼤的帮助。然⽽，意识到这⼀点的⼈并不太多。
对数的发明者约翰·纳⽪尔的肖像对数⽤加法代替了乘法，⽤减法代替了除法，这为科学⼯作者节省了⼤量时间和精⼒。特别是那个时期的天⽂学家往往将⼤部分时间花在常规的枯燥计算上，⽽这些⼜是计算⾏星轨道所必需的。对数的出现⼤⼤减轻了他们的负担。拉普拉斯评论说，对数的发明实际上“使天⽂学家的寿命延⻓了⼀倍”！
这个⾼明⼯具的发明者约翰·纳⽪尔是⼀个相当神秘的⼈物。他出⽣于苏格兰贵族阶层，年轻时曾⼴泛游历欧洲各地。纳⽪尔写了⼀本书，名为《圣约翰启示录的⼀个简单发现》(A Plaine Discovery of the Whole Revelation of Saint John)，这本书⼤受欢迎，纳⽪尔也因此坚信他将因为⾃⼰的宗教观点在历史上拥有⼀席之地。
幸运的是，⼈们现在能记得纳⽪尔，是因为他还做出了更有意义的贡献。
纳⽪尔特别关注乘法和除法所涉及的运算量。事实上，他那个时代的⼤多数科学家都把⼯作中的⼤部分时间花在了常规的枯燥计算上，对于制作⾏星表等涉及天⽂计算的尤其如此。对数的发明彻底改变了这种局⾯；它⽤加法代替乘法，⽤减法代替除法！正如拉普拉斯(Laplace，1749—1827)多年后指出，对数有效地“使天⽂学家的寿命延⻓了⼀倍”。
伟⼤发明背后的概念往往⾮常简单，对数也是如此。要理解其基本概念，请思考：20=1、21=2、22=4、23=8、24=16、25=32，依此类推。例如，计算数字4和8相乘的结果时，因为4是22，8是23，所以乘积可以表示为4×8=22+3=25。已知25等于32，这样⽴刻就能得出答案。其中最关键的⼀点是，两个数字4和8的乘法被简化为上标2和3的加法。
现在假设你有⼀个查找表，所有数字都⽤2的幂来表示。例如，数字17可以⾮常准确地表示为24.087，19可以表示为24.248(4.087是以2为底17的对数)。因此，要计算17乘以19，你只需要将两个幂相加(4.087+4.248)，得到8.335。19×17的结果是28.335，即323。当然，为了实现这个想法，你需要⼀个详细的表格，将所有的整数都表示为2的幂。
⼀旦有了这样⼀张表格，你就可以轻松计算出任何两个数字相乘或相除的结果，只需要⽤⼀个指数加上或减去另⼀个指数就可以了。这节省了⼈们⼤量的时间和精⼒。
以上说明使⽤数字2作为底数来表示所有其他整数。你也可以⽤其他任何正数来替换2。出于相当复杂的数学原因，纳⽪尔使⽤了⼀个常数的倒数，通常⽤字⺟e≈2.718来表示。这个常数在⾼等数学的所有分⽀中都起着⾄关重要的作⽤，事实上，它被称为“⾃然对数的底”。
什么是数字e？▲⾃然对数的底数e在计算复利时，对⾃然对数的底数e可以这样解释：如果⼀家银⾏给你100%的年利率，但在⼀年中多次结息，那么你的存款会显著增⻓，但不会⽆限增⻓。即使银⾏是即时计算利息的，你年底所收获的本息总和，最多也只会是你本⾦的e倍。现在，这个模式应该很清楚了。如果将⼀年分成n等份，并在这n等份的每⼀阶段结束时计算复利，那么你将在年末得到的⾦额。
你会发现，n的值越⼤，这个⾦额也会越⼤，但它会越来越接近⼀个特定的数值。当把n取为任意⼤时，得到的数字⽤e表示，e被认为是⾃然对数的底数。这个数字的近似值为e≈2.718268(精确到⼩数点后六位)。纳⽪尔花了⼆⼗多年时间设计对数理论。在这本书中，纳⽪尔发明了计算对数的⽅法，还提供了在天⽂计算中⼤量使⽤的弧⻓正弦、切线和割线的对数。这本书在科学界引起了极⼤的关注，并⼴为流传。
1614年，纳⽪尔在⼀本名为《奇妙的对数定律说明书》（Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio）的⼩册⼦中公布了他的发明，其中还包含⼀个表格，给出了连续弧分的⻆度正弦的对数（这是天⽂计算所需的最重要的数值）。
▲《奇妙的对数定律说明书》的扉⻚纳⽪尔1614年出版这本书⼀出版就引起了⼴泛关注。在科学史上，很少有其他新发现也能受到如此热烈的欢迎。纳⽪尔的发明很快被科学家采⽤不仅在欧洲，还⼀直传到了遥远的中国。开普勒就是采⽤对数的⼈之⼀，他在计算⾏星轨道时使⽤了对数。消息传得很快，就在⼀年后，数学教授布⾥格斯不远千⾥从伦敦前往爱丁堡（那时候算是相当远距离的旅⾏了）拜访纳⽪尔。
他们⻅⾯后，布⾥格斯说服纳⽪尔⽤10代替作为对数的底数更为适合。换句话说，所有的数字都应该⽤10的幂来表示。因为100=102，1000=103，所以以10为底的100的对数是2，1000的对数是3；100到1000之间的任何数字的对数都可以⽤2和3之间的数字来表示。
布⾥格斯在返回伦敦后⽴即开始着⼿制作这样⼀个表格，并于1624年出版了他的《对数算术》（Arithmetica Logarithmica）⼀书，其中包含了从1到20000和从90000到100000的所有数字的对数(精确到⼩数点后14位)。后来，荷兰书商阿德⾥安·弗拉克（Adrian Vlacq，1600—1666）填补了20000到90000之间的空⽩。
这些表格使⽤了近三个世纪，直到20世纪40年代左右才被精确⾄⼩数点后20位的表格所取代。同时，在17世纪20年代，英国数学家奥特雷德意识到，通过制作⼀个简单的机械装置，甚⾄可以省去查找对数表的过程。这个装置由两个滑动标尺组成，其中数字的标记⽅式是：数字与标尺左端的距离在数值上等于该数字的对数。▲对数计算尺利⽤对数特性制作的计算尺在被计算器取代之前，⼀直是⼯程师和科学家的好帮⼿！
这样，只需在⼀个标尺上滑动另⼀个标尺，就可以对数字进⾏乘法和除法计算了。这个名为“对数计算尺”的简单⼩⼯具，为⼯程界和科学界⼈⼠提供了莫⼤的帮助。纳⽪尔还对数学的其他分⽀做出了贡献。例如，纳⽪尔完善了⼈们现在经常使⽤的⼗进制记数法；荷兰数学家⻄蒙·斯蒂⽂（Simon Stevin，1548—1620）早些时候就提出了⼩数的概念，纳⽪尔将⼩数符号紧凑化，更加便于⼈们使⽤。
顺便⼀提，有证据表明，瑞⼠钟表制造商约斯特·布吉（Jost Burgi，1552—1632）早在1588年就发现对数的概念，⽐纳⽪尔开始研究对数还早了六年。布吉⽤⼀种不同于纳⽪尔的⽅法制作了⼀张反对数表。但出于某种原因，布吉直到1620年才在布拉格匿名发表了这张表。
开普勒在他的《鲁道夫星表》(Rudolphine Tables)导⾔中，毫不客⽓地批评了布吉的做法：“……约斯特·布吉早在纳⽪尔之前很多年就发现对数可作为数学计算的辅助⼯具，但作为⼀个懒散又沉闷的⼈，布吉⾮但没有为了公共利益考虑及时公布这⼀发现，反⽽从⼀开始就抛弃了它。”今天，除了科学史学家，没有⼈知道布吉的存在。
知识链接：对数计算尺，科学的好帮⼿虽然让⼈感到不可思议，但曾经有⼀段时期⼈类没有任何电⼦计算设备可以使⽤！对数计算尺作为使⽤对数进⾏计算的得⼒⼯具，能够帮助⼯程师完成⼯作中所需进⾏的复杂计算——从双螺旋到波⾳⻜机！1622年左右，奥特雷德设计了第⼀款对数计算尺。他⽤了两个带有对数标记刻度的滑尺，通过在⼀个滑尺上滑动另⼀个，就可以进⾏乘法和除法运算。
1675年，⽜顿在这款计算尺上增加了⼀个玻璃游标，这个设计⼀直沿⽤了⼏⼗年。1683年，托⻢斯·埃弗拉德（Thomas Everard）⼜在⽜顿设计的滑尺的基础上进⼀步改良，制作出“测量尺”，主要⽤于酒桶容积的测量与计算，从⽽得出酒类应缴纳的关税⾦额！虽然原理很简单，但计算尺经历了⼏番修改，设计出各种满⾜专⻔⽤途的样式。
1625年⾄1800年，在纳⽪尔发明出第⼀款计算尺后的175年内，有近40种不同的计算尺诞⽣，包括圆形和螺旋形计算尺。在接下来的100年⾥，后⼈⼜设计制作出250种不同的计算尺。技术史学家估计，仅在20世纪就制造了约4000万个计算尺。计算尺作为⼀种机械装置，使⽤起来不⽤担⼼发⽣电⼒故障或电池耗尽，即便在今天，许多⽔⼿仍把计算尺作为海上导航的备⽤⼯具，尤其是在⻓时间航⾏的情况下！
从⼈类建造帝国⼤厦到登陆⽉球，这些⼯作的背后都少不了计算尺的⽀持。这⼀切都从根本上证明了对数的影响⼒。