虚数的概念也曾困扰着我，这些概念看起来太过平常，不求甚解的人可能会觉得这都是数学家的事，或者会对着自己一脸好奇的孩子说“等你长大了就懂了”，许多孩子童年的求知欲受挫可能都是来自于家长的这一句话看似安慰的话。所以，如果不主动去了解，不仅自己会错过很多醍醐灌顶的机会，还会影响下一代。
在说虚数(Imaginary Numbers)之前，应该先提大家更加熟悉的一个概念，那就是负数(Negative numbers)。负数的概念在小学数学里就有介绍，也就是说，小学生也应该能够自信地进行负数的各种运算，但是在公元18世纪以前，即使是当时欧洲著名的数学家，想让他理解“负数”这个概念也并不容易。
“负数”在当时被认为是荒谬的，就像公元500年之前，毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯(Hippasus)发现无理数（也称为无限不循环小数，如自然常数e，它们都无法写成两个整数之比）一样。
当人们在直观感受遭遇挑战的时候，人们往往先选择拒绝。例如，当时的人们可以很直观地理解，如果你家有4条狗，后来送给别人家3条，你还剩下1条，4-3=1。但如果说你家有3条狗，然后送给别人家4条狗，那这是什么狗？！所以，人们无法直观上理解的计算方法在当时是不能被接受的。
即使是欧拉(Leonhard Euler)，也为“负数”的概念纠结了好一阵。不过现如今，认为负数“无用”或“不合逻辑”才是真的荒谬。那为什么人们对负数的理解发生了180°的大转变呢？因为我们发明了一种具有有用属性的理论上的数字，负数并不能很好地用来描述我们看得见、摸得着的可直观感受的事物，但却能很好地描述某种关系。
虚数也有相似的命运，从其名字就可以看出似乎受到过很不公正的待遇。一元二次方程x^2=1有两个解，x=1和x=-1。那对于方程x^2=-1呢？在解之前，我们不妨先假设x的解存在，就像负数一样，奇怪的概念往往其实有其自身的价值。
对于方程x^2=-1，其实可以写成x·x·1=-1。我们将“用x乘”看成是一种“变换”，通过两次这种变换，我们最终将1变为-1。但我们不能通过和两个正数的相乘抑或是和两个负数的相乘来实现1到-1的转变，“变换”并不改变问题本身，而只是改变了看待问题的角度。
但是如果这种变换是旋转呢？把数轴从一维扩展到二维，1到-1的转变就是绕着原点旋转180度，而这正是在两个“用x乘”作用以后的结果。可以想见，x是不是对1的作用就意味着逆时针旋转90度。而这个坐标系构成的平面也称为“复平面（横轴为实数轴(Real Dimension)，纵轴为虚数轴(Imaginary Dimension)）”，并用字母i作为该情况下x的解，用来特指“逆时针旋转90°角”的变换。
那如果想顺时针旋转90°呢？答案是：乘以-i就行了。而且如果乘以两次-i，和乘以两次i一样，得到的也是-1。
如果分别乘以0次、1次、2次、3次、4次、5次i，可以得到以下结论：1=1（毫无疑问），i=i（感觉是句废话），i^2=-1（上面已经说明了原因），i^3=(i·i)·i=-1·i=-i（三次逆时针旋转90°，相当于顺时针旋转90°），i^4=(i·i)·(i·i)=-1·-1=1（四次逆时针旋转90°，回到初始位置，循环结束），i^5=i^4·i=i（开始下一循环，逆时针旋转90°）。
同时，上图也不知不觉地将数从一维的实数域拓展到了二维的复数域，即实数与虚数的组合。或者说：复数=实部+i·虚部。例如，一个复数Z的实部为1，虚部也为1，则可以得到复数Z=1+i。复数Z可以看作是复平面上的点(1,i)，如下图。
即沿着实轴方向前进1，沿着虚轴方向再前进1，其在实轴与虚轴上的投影值即为实部与虚部的值，其长度或“模(Modulus)”为该点到原点的距离根号2，该点与原点连线后与实轴正方向的夹角为45°，该角度称为幅角(Argument)。
既然复数自带旋转属性、有大小、有方向，而正是虚数的存在才将一维的实数域提升或者说扩展到了二维的复数域，那么还有什么理由说虚数很虚呢？