大卫·希尔伯特（德语：David Hilbert [ˈdaːvɪt ˈhɪlbɐt]，1862年1月23日－1943年2月14日），德国数学家，是19世纪和20世纪初最具影响力的数学家之一。希尔伯特1862年出生于哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒），1943年在德国哥廷根逝世。他因为发明了大量的思想观念（例：不变量理论、公理化几何、希尔伯特空间）而被尊为伟大的数学家、科学家。
希尔伯特空间（Hilbert space）指的其实就是完备的内积空间（Complete inner product space），两者同义。而非完备的内积空间又称为准希尔伯特空间（pre-Hilbert space）。那么显然就有如下关系：即希尔伯特空间是一种特殊的内积空间，其特殊性就体现在其完备性上，因为一个内积空间不一定是完备空间。
在数学分析中，完备空间又称完备度量空间或称柯西空间（Cauchy space）。如果一个度量空间中的所有柯西序列都收敛在该空间中的一点，则称该空间为完备空间。这个定义中又涉及到两个的概念，即“度量空间（Metric space）”和“柯西序列（Cauchy sequence）”。
在数学中，度量空间是个具有距离函数的集合，该距离函数定义集合内所有元素间之距离。此距离函数被称为集合上的度量。度量空间中最符合人们对于现实直观理解的是三维欧几里得空间（Euclidean space）。
在数学中，柯西序列、柯西列、柯西数列或基本列是指这样一个数列，它的元素随着序数的增加而愈发靠近。任何收敛数列必然是柯西列，任何柯西列必然是有界序列。
内积空间指的是添加了一个“运算方法”（或称“结构”）的向量空间（或称为“线性空间”，两者同义），这个新添加的运算方法即“内积（Inner product）”又称“标量积（Scalar product）”或称“点积（Dot product）”。内积将一对向量与一个纯量连接起来，允许我们严格地谈论向量的“夹角”和“长度”，并进一步谈论向量的正交性。
希尔伯特空间（Hilbert space）是有限维欧几里得空间（Euclidean space）的一个推广，使之不局限于实数的情形和有限的维数，但又不失完备性（不像一般的非欧几里得空间那样破坏了完备性）。而且从上面的关系可知，希尔伯特空间（Hilbert space）可以看做是增加了内积运算的巴拿赫空间（Banach space）。