十五-十六世纪的欧洲人对于遥远的东方有着诸多幻想，这种幻想很大一部分来自于《马可波罗游记》。在《马可波罗游记》中，东亚被描述成为物资丰饶、建筑堂皇、交通便利的所在，活脱脱一个白富美的神圣形象。白富美通常是可望不可即的，更何况当时欧洲和东亚之间隔了一个高富帅——土耳其人建立的奥斯曼帝国。
高富帅身强体壮，没法强行逾越；而《马可波罗游记》只是一本“美女图册”而非“泡妞指南”，因此要想追到白富美，还得另想它法。有人会说，既然高富帅霸占了陆地，那么走水路不就好了呗！从现在的科技看来，条条大路都能通罗马，确实再简单不过了。但是要注意，当时欧洲大部分人认为地球是平的，如果船航行到地球边界，会发生如下惨案：追求白富美的道路是坎坷的。所以当时欧洲大部分人都放弃了对白富美的追求。
而麦哲伦则不同，他不仅“色胆包天”，而且坚信地球是圆的：只要心够狠，往西走也能追到东方的白富美。心动不如行动，他在1519年组建了一支两百多号人的队伍，开始了通往东方的极乐之旅。
麦哲伦的这次环航之旅充满了四伏危机与艰难险阻，两百多人的队伍最后只有十八人生还，而麦哲伦本人也在菲律宾被当地土著射杀。无论如何，麦哲伦和他的队伍以亲身实践，甚至以生命的代价将世界上首部“泡妞手册”印刻在了历史的车轮上，成为了世界近代史的标志性事件。有词为证：永遇乐·环游。
其中最后一句话常常作为结论出现在历史课本上——麦哲伦环航世界证明了地球是圆的。卫星图片告诉我们地球确实是圆的，但这是二十世纪以后的事了。出生在十五世纪麦哲伦真的证明了地球是圆的吗？如果麦哲伦的航行发生在十九世纪，那么当时的数学家会告诉我们答案：未必如此。
数学家们对局部和整体有着强烈的敏感性。如何从局部的信息推断整体的轮廓，是现代数学的基本思想，并且这一思想诱发了大量前沿概念的产生。尽管麦哲伦环航了世界，但他只是走了其中的一条航线而已，如何从一条航线这一局部信息就能给出“地球是圆的”这一整体性的结论呢？数学家可以提出很多地球形状的假设来拟合麦哲伦的航行结果，例如：地球的可能形状。所以单从一次航行的结果看来，我们是无法判断出地球长什么样的。
那么如果假设麦哲伦和超级赛亚人一样拥有无穷精力，把每条环球航路都试了个遍，是不是就能肯定地球是圆的了呢？答案依旧是否定的，这充其量只能排除“莫比乌斯带”的情况。如果地球是圆的，那么从同一个地点出发的几条航线如下图所示：尽管这几条航线南辕北辙，他们之间存在某种“相似性”。而如果地球是一个圆环面，情况就不一样了：无论怎么“连续”变换，我们可以发现，这两种航线都是不可能重合的。
在数学里面，用同伦变换来表示这种“连续”的变换。
我们回到圆环面的话题。我们把那两条“同床异梦”的航线的同伦等价类分别记作a和b。庞加莱在1895年首次给出了两条不同航线a和b之间的“乘法”，因而赋予这些航线的同伦等价类以群的结构。庞加莱把这个群称作基本群，记作π1(M)。圆环面的基本群有两个自由生成元，且两者互不相关，因此圆环面的基本群就是Z×Z，而球的基本群则是平凡的。
不同曲面的异同，可以在一定程度上从基本群的异同中看出端倪，这样就把一个直观却难以描述的拓扑问题转换为了一个抽象却可以计算的代数问题。
一些细心的读者注意到，基本群π1(M)中间有一个“1”，那么有没有π0(M)，π2(M)，πn(M)呢？答案是肯定的，这些群被统称为同伦群，而基本群π1(M)又被称作第一同伦群。数字“1”表示麦哲伦走的航线是一维的，如果航线是n维的，对应的同伦群就是第n同伦群。一个有趣的现象是，二维及以上的同伦群都是交换群，但基本群一般说来不是交换群。这也赋予了基本群在代数拓扑领域的特殊地位。
同伦群是描述曲面连通性的最有效方式。到现在为止，读者们也许对拓扑和几何的区别有了点懵懵懂懂的印象。我们所熟悉的几何是一个古老的学科，它研究“形”的方方面面，例如线段长度、面积大小、垂直平行关系等等。从这个角度看来，拓扑算是几何的一个分支，只不过拓扑学（特指代数拓扑）的基本思想是以不变应万变，它只关心曲面的内在不变性，而不关心曲面的面积、曲率等。
麦哲伦的时代还没有拓扑的概念，所以才会犯下这个以偏概全的错误。
尽管同伦群能很好地描述曲面的连通性，它有有两个最大的问题，一是高维同伦群计算过于复杂，需要综合调用其他数学分支的思想；二是不能很直观地描述一些拓扑不变量。例如圆环面上的“洞”就难以用同伦群来描述。如何解决这一难题呢？在十九世纪中叶，意大利数学家贝蒂从欧拉多面体公式中获得灵感，使得任何曲面都可以有类似于欧拉公式那样的结论。
我们先来回忆一下欧拉多面体公式的定义：这个公式只对多面体适用。要知道曲面可是很圆滑的，圆滑的人总是要比有棱有角的老实人难对付点。怎么把它推广到任意曲面上去呢？答案：强行把圆滑的曲面进行剖分，创造出它的棱和角。
这样就可以应用欧拉多面体公式了！不过正如上图所示，同一个曲面可能有不同的剖分方式，而贝蒂则证明了无论如何剖分，面数-边数+顶点数都是一个常数，而且这个常数只和曲面上“洞”的个数有关。这一结论可以被拓展到高维情景，并且贝蒂把高维“点数、面数、边数”的某种等价类定义为贝蒂数。也许贝蒂不会想到，他的这一思想会成为现代代数拓扑的核心思想。
值得一提的是，就算强如庞加莱，也没能发现贝蒂数中竟然也蕴含着群的结构，这点令后来的数学家们感到诧异。同调群的引入已经是二十世纪以后的事情了，它能比贝蒂数更全面地反应对应曲面的拓扑结构。所以若要确定某个曲面的拓扑结构，归根结底，就是计算该曲面的同调群。同调群的准确定义可以参考文献的第二章。
和同伦群一样，同调群也有维数之分，不同的是n维同调群反应了n维单形的信息，而n维同伦群则反应了n维“航线”的信息。这一差异也最终导致了两个概念的殊途而不同归——同调群的计算比同伦群简单一些，且更能直观反应曲面的拓扑不变量；而同伦群更能反应曲面的各种连通性。
上一节中提到过，确定某个曲面的拓扑结构就是计算该曲面的同调群。所以二十世纪代数拓扑一个核心课题，就是如何计算不同曲面不同维数的同调群。
这个话题一直活跃到今天。计算同调群看起来轻松，实际上颇为不易，因为高维的几何对象没办法直接想象出来，只能像写家书一样系情于纸笔，用低维曲面把高维曲面简化出来。于是我们自然会联想到一个问题：有没有办法通过数学的语言，把高维同调群和低维同调群“联系”起来，从而通过低维的同调群推导出高维的同调群呢？这便是同调代数这个数学分支的精髓所在。而这种“联系”高维和低维同调群的手段，被称之为长正合链。
有长必有短。短正合链中只囊括了三个相同维数曲面之间的关系，是很容易得到的。可不可以从短正合链出发，得到一个长正合链呢？以下定理告诉了我们答案：这一张图反应了同调代数的一大精髓。上图中最后一行的长正合链，被广泛地运用于计算一些特殊几何对象的同调群。所以，同调代数在代数拓扑中扮演的，就是穿针引线的角色！
当然对于一些比较复杂的几何对象，光用上面这种方法是不行的。
同调代数中的另外一种方法，谱序列，可以完成这一任务。谱序列的思想来源可以追溯到复分析中的一个问题。而这个问题的解和某种同调群直接相关。而Čech上同调正是由谱序列的方法得到的。由于依赖于局部覆盖的选取，Čech同调群在计算上具有很大的灵活性。但一个强烈依赖于局部几何信息的群，如何揭示出所在曲面的拓扑性质呢？这就是法国数学家勒雷在1946年得到的重要结果——勒雷定理。其证明方法需要用到纤维化的思想。
值得一提的是，勒雷也是一位偏微分方程的专家。他的标志性成果是把拓扑度理论的概念引入非线性方程中，从而提供了一个研究偏微分方程的全新视角。这种方法常常被用作判断微分方程解的存在性和解的个数，以及解的稳定性。
尽管代数拓扑是一门相对年轻的数学分支，其实它的主要思想都是来自于对几何对象的数学描述，这些思想的基础就是第二和三章的内容，看似不拘一格实则清晰直白，易于想象。有了基本思想的牵引，数学计算也只是琐事一件。这和我们中小学阶段的数学有很大区别，因为我们大都习惯了繁琐的计算，这样在相当程度上抑制了我们的想象力。
除此之外，小编还希望通过这篇文章，让读者们初步感受到现代数学的魅力，以及不同数学分支之间是如何交融在一起的。数学上许多很“天才”的构想，都是受到了其他数学分支，甚至数学以外的学科的影响。例如本文中同调群的计算方法来自于同调代数，而谱序列的思想起源于复分析。
初次学习这些概念的读者一定会遇到很大困扰，但如果能从历史的角度观察它们是如何一步步形成的，我们会发现，许多看似不可思议的构想实际上都是很符合直观的。
其实理论数学和应用数学并没有太大的鸿沟。例如代数拓扑，不仅在粒子物理领域找到了自己的一席之地，最近还在神经科学中初露头角；其中缘由，正是从一个简单的小白鼠实验找到了灵感。因此在二十一世纪的今天，生物学将会成为数学的发展方向之一。
最后，读者们若有机会环游全球，要特别注意航行方向。因为如果地球不幸变成了一个圆环面，而你却绕着南北方向航行，那可就亏大了。