在理论物理学的最前沿，正在发生着一场“广义对称性”的概念革命，新的对称性思想正在不断涌现。重要的是，这些概念被广泛应用于高能理论、凝聚态理论与数学等领域中，让这些不同方向的学者因为对称性这一核心概念而联系在一起。本文将简要介绍一些新颖的对称性概念，包括高形式对称性、范畴对称性，以及在弦论、全息原理等方面的应用。
理论物理学的目标是建立物质相互作用的理论体系、解释自然现象背后的本质规律。为了将理论化繁为简，一个至关重要的指导思想是寻找物理体系中的对称性。对称性不仅能限制物理理论的形式，还能引出守恒量的概念，可帮助我们理解物理体系的演变过程。
近年来，理论物理领域正在发生着一场“广义对称性”的概念革命。来自高能物理、凝聚态物理与数学等不同领域的学者们会聚一堂，提出各种新颖的对称性概念，并在物理体系中的寻找它们的痕迹。本文试图引领读者了解这个充满活力的数学物理领域，一窥其背后的思想与魅力。
无论是在宏观的日常生活中，还是微观的物理体系中，对称性都无处不在。从美学的角度来看，对称性是美的极大体现。著名数学家艾米·诺特提出了关于对称性的基本定理——诺特定理。她指出：每一种连续对称性都能引出一个守恒量。常见的例子有：空间平移对称性对应动量守恒；时间平移对称性对应能量守恒；空间旋转对称性对应角动量守恒。
让我们回到19世纪，当时物理学家使用了一个重要的新概念——“场”以描述电磁现象。经典电磁理论的一个重要推论是电磁波的存在，例如可见光、微波等。在经典电磁场理论中，所有相互作用都是局域的。也就是说，物质只能影响其附近的事物，而电磁相互作用的传播速度不能超过光速。这一特性启发了爱因斯坦在20世纪初建立狭义相对论，将三维空间与一维时间统一为有机的整体——四维时空。
在理论物理中，人们通常不将这种规范对称性视为“真正”的对称性，因为它意味着理论中存在一些冗余的自由度。实际处理中，需要选择特定的规范固定，以得到真实的物理自由度。电荷守恒是由全局规范对称性得到的，电荷是令规范参数与时空坐标无关后，应用诺特定理推出的守恒量。
群是由19世纪数学天才伽罗瓦、阿贝尔等人提出的代数结构，它作为描述对称性的基本数学框架，具有高度的美感。简而言之，群是一个集合，一种被额外赋予的代数结构，即元素之间的群运算。群运算需要满足结合律和可逆性。
在传统的局域量子场论中，人们研究的焦点通常是局域场算符，它们被定义在时空中的某个0维的点上。然而，量子场论中同样存在着高维的非局域算符。以麦克斯韦电磁学理论为例，我们可以围绕一个一维的圈上对规范场做积分，从而定义出这一在规范对称性变换下不变的“威尔逊圈”算符。
在基础物理学中，一个重大问题是解释量子色动力学中的夸克禁闭现象。具体来说，为什么夸克在长距离（低能标）下会组合成质子、中子和其他粒子，而我们无法直接观测到裸夸克呢？在此理论中，威尔逊圈扮演着重要的角色，因为当圆圈的尺寸趋于无穷大时，其行为对应于量子色动力学在长距离下的行为。
量子世界是一个神秘且与经典世界截然不同的领域，其许多方面难以用日常经验理解。在对称性方面，经典场论中具有的对称性也有可能在量子水平下被破坏。这种物理现象被称为量子反常。量子反常可分为两种主要类型：规范对称性的量子反常和全局对称性的量子反常。
正如前文所述，群是一种描述对称性的自然结构，但随着形式化量子场论的发展和高形式对称性的提出，人们意识到在场论中需要关注高维物体和高维算符。现代数学的灵魂——范畴，能够描述不同高形式对称性之间的混合。
在讨论不可逆对称性时，我们可以证明，新的体系会具有一个新的对称性，其对称性代数为G的Pontryagin对偶。由于非阿贝尔群的表示在张量乘积运算下不可逆，我们因此构造出了一个带有不可逆对称性的物理体系。
如何理解非微扰、强耦合、强关联系统是物理学中的基本难题，也是数学物理的终极问题之一。由于一般的非微扰量子场论过于复杂，人们会尝试讨论一些具有更高对称性的模型。
广义对称性是一个蓬勃发展的新领域，不断刷新着人们对于对称性这一古老概念的认知。它的重要意义不仅在于其在各物理分支中的应用，更在于它成功重新团结了三个原本独立的群体：高能理论学家、凝聚态理论学家和数学家。