神奇的周期三:一个发表在大众杂志上的数学定理

作者: 丁玖

来源: 科普中国

发布日期: 2023-05-26 09:23:06

1975年12月,李天岩和约克在《美国数学月刊》发表了《周期三则意味着混沌》一文,首次引入“混沌”一词,揭示了确定性系统中的随机性。文章经历了投稿被拒的波折,最终成为混沌理论的重要文献,影响深远。

1975年12月期的《美国数学月刊》发表的文章《周期三则意味着混沌》,在数学上第一次创造了“混沌”一词,引领了科学界和数学界探索自然演化和函数迭代过程中那些展现出未来不可预测性的新浪潮。该文不仅是从科学领域中提炼出数学洞见的典范之作,而且还以丰富的内涵反哺自然科学和工程技术。

我在上一篇《气象学家与数学家的混沌接力》中讲到,是“混沌之父”爱德华·洛伦茨揭示出天气变化具有内在“蝴蝶效应”混沌本质的那篇重磅论文《确定性的非周期流》,催生出“李-约克混沌”的数学概念。然而他们据此而写成的文章初稿却差点与《美国数学月刊》失之交臂。李-约克定理被老师提出、学生证明后,文章真的按照李天岩的“玩笑式建议”投给了《月刊》。

为什么这么漂亮的一个数学定理加上一个新定义的数学名词“混沌”要投给一个数学上的“大众杂志”呢?约克自有打算,他深知这个来源于自然科学却反过来又能为自然科学提供广泛服务的数学定理将给科学界传递一个极其重要的信息:确定性的世界中也会隐藏着随机性,所以他想让尽可能多的人了解并领会这个观念。

众所周知,越是高深专门的学术期刊,读者人数越是稀少,约克决心要让天下的人都知道他和李天岩关于函数迭代的绝妙想法和惊人结果。《月刊》是全世界读者人数最多的数学期刊,于是约克将希望传播混沌之数学刻画的目光投向了它。然而,投稿结果却遭遇了滑铁卢,并且之后的故事甚是颇具戏剧性。文章投出去不久就被编辑退回,理由是该文写得过于研究性,不太适合一般读者,尤其是作为主要读者群的大学生。

因此编辑建议作者转投研究型专业杂志。或许编辑还是看到了此文数学内容的独具魅力之处,在拒稿信的末尾又加写了一句话:倘若把文章改写到一般学生都能读懂的地步,可以再投回《月刊》考虑。

由于这句并非“多余的话”,最后的结局让这份杂志与读者一样也获益甚多:我的韩国裔师兄李弘九教授五年前曾告诉我,李-约克论文在明年将庆祝创刊130周年的《美国数学月刊》历史上被引用次数排名第二高;根据“谷歌学术”的记录,它已被引用了超过5670次,这对通常而言引用次数远非生命科学和工程技术等应用学科对手的数学文章而言,是极为罕见的。

但是,当时的李天岩实在太忙。

他一生中最显赫的三项数学贡献都是在那两三年做出来的,除了这项“周期三”的工作已写出文章外,他还在继续从事微分方程方面的研究,同时又在自己选修的一门研究生课程《非线性方程组数值解》中获得灵感而穿梭于大学的计算中心和公寓之间,埋首于通过数值逼近构造性证明布劳威尔不动点定理,即将开辟出求解非线性方程组的“现代同伦延拓法”这一崭新的疆场。他既没有工夫修改这篇文章,也不知道怎么改它。

由于没有新的应用论题的激励,约克教授一时也缺乏动力按编辑的建议行事,于是乎,这篇文章就被他们放在一旁束之高阁了将近一年。

上天终于赐给他们一个修改文章的契机。1974年是马里兰大学数学系“情系”生物数学的“特殊年”。这一年里的每个礼拜都有“生物数学”领域里的优秀学者来这里演讲。在五月份的第一个星期,普林斯顿大学冠名为“1977届”的动物学讲座教授罗伯特·梅被请来演讲一周。

在星期五的报告中,梅教授专门讲述了他在种群动力学中迭代那个逻辑斯蒂映射后的种种发现:在繁殖率参数μ由3变到4的过程中,函数迭代点数列之最终性态令人眼花缭乱地愈变愈复杂。他对此现象深感困惑,难以合理解释,觉得或许是因为计算误差从中作怪。听完梅博士的报告后,约克在送他去往飞机场的途中,把自己和李天岩被冷淡了将近一年的那篇文章递给他看。

对方一读到文章中得出的“周期三则乱七八糟”结论后,大为吃惊,马上认定此定理大大解释了他的疑问。

约克从梅那里获得了修改文章的动力,他送客归来后立刻跑到李天岩的办公室大叫:“我们应该马上改写这篇文章!”文章在两个星期内以更阐述性的写作方式修改完毕,重新投回《月刊》,三个个月后被编辑接受,并最终刊登在第82卷第10期上,页码为985-992,仅仅八页长。

梅幸运地成了李-约克定理的第一个受惠人,所以也理所当然地充当了志愿宣传员的角色。同年夏天他去欧洲讲演时,到处传播李-约克定理,“李-约克混沌”的概念很快四处散开,也让概念的两位提出者声名远播。

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