声⾳图形的数学探索
中科院物理所
2022-10-04 18:06:24
转⾃公众号：科学艺术研究中⼼
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以下⽂章来源于：科学艺术研究中⼼
普罗⽶修斯将⽕带到⼈间，从此⼈类⽆需在⿊暗中度过⽆穷⻓夜，进⼊光明与⽂明的新纪元。⽽声学之⽗克拉尼（Ernst Chladni）的声⾳图形也如同⼀枚⽕种，微光成炬、烈焰燎原，带给现代物理学、⽣理医学、哲学、建筑声学、⾳乐理论、乐器制造、数学、⾳流学等诸多领域新的研究视⻆和⽅法论的启发。本期⼩编将为您介绍克拉尼图形（Chladni figure）在数学领域引发的共振。
1. 隐形世界的镜⼦
克拉尼声⾳实验的基本原理来源，是德国物理学家利希腾⻉格（Georg Christoph Lichtenberg）的静电图实验（Lichtenberg figures 俗称：“闪电花”）：通过电击硫磺粉，使绝缘板上的粉末形成树状“电击雕刻的花纹”。
克拉尼受此启发，在光滑的铜板上均匀地洒满细沙，于铜板的边缘缓缓拉动⼩提琴⼸，奇特的⼀幕发⽣了，沙⼦在⼏秒钟内形成了聚散的线条花纹——克拉尼图形就此诞⽣，这⼀刻映照出了隐形的声⾳世界。上：利希腾⻉格静电图，下：克拉尼图形与实验图。
1787年，克拉尼完成了第⼀部声学著作《关于声⾳理论的发现（Entdeckungen über die Theorie des Klanges）》，并在其中记录了这项实验的成果，和他绘制的⼤量曼妙的声⾳图形。当⼩提琴⼸摩擦铜板使其发⽣弯曲形变直⾄共振时，板⾯中有保持静⽌状态的区域和振动状态的区域，沙⼦在振动作⽤下向表⾯静⽌的区域集中，并最终勾勒出变化多样的节点线。
2. 抛砖引⽟，开启数学探索之路
直到1802年，克拉尼⼜⼀突破性著作《声学（Die Akustik）》问世，这本书的出现使声学成为⼀⻔独⽴的学科，书中包含了对乐器的制作、声⾳的产⽣、传播与接收理论等全新的声学领域研究，汇编和评论了他在欧洲巡讲中发现的⼤量声学相关的研究成果。书中克拉尼对于声⾳图形的数学研究有了进⼀步的发现，他根据平⾏于两侧的节点线的数量对于矩形板上的图案进⾏分类。
对于圆形板，他观察到增加节点线与增加板⾯的直径，都可以提⾼圆形板振动模式的频率，即出现克拉尼图形的圆形板表⾯的振动模式的频率f与图形的直径n和径向节点线的数量m之间的关系。
1809年，克拉尼做声学巡讲到达法国巴黎时，极其重视科学的拿破仑独具慧眼，决定为此项数学研究颁发了3000法郎的：“法国皇家科学院奖⾦”，奖励给“得出克拉尼声⾳图形中弹性物质表⾯振动的数学理论，并将该理论与实验数据进⾏⽐较”的学者。
1816年，法国数学家索菲·热尔曼（Sophie Germain）以⼀篇题为《弹性物质表⾯理论研究（Recherches sur la théorie des surfaces élastiques）》的论⽂，并因此成为第⼀位获得法国皇家科学院奖的⼥性。
3. 科学探索是⽆尽的前沿数学研究成果⾄此还没有达到尽善尽美，这场“接⼒”仍在继续。
英国科学家惠斯通爵⼠（Charles Wheatstone）在1833年继续尝试使⽤正弦和余弦函数近似计算克拉尼图形。他表示，在⽅形和矩形板⾯上，⽆论多么复杂的克拉尼图形，都是两组或多组同步平⾏振动的结果；并且通过简单的⼏何关系，使⽤了“运动叠加”的原理，⽆需任何深刻的数学分析，成功地预测了特定振动模式应产⽣的曲线。
德国物理学家基尔霍夫（G. Kirchhoff）在1850年提出了正确的数学模型，将⽅形板上的克拉尼图形视为双谐波算⼦的特征对（特征值和相应的特征⽅程）。他还设法解决了圆形板的特殊情况下的克拉尼图形，由于圆是轴对称图形，这个问题更容易处理，然⽽对于其他形状的板⾯，最难解决的就是其带有⾃由边界条件的偏微分⽅程的特征值问题。
瑞⼠物理学家沃尔特·⾥茨（Walter Bits）在1909年所著的开创性论⽂中提出了⼀种计算克拉尼图形的⽅法：不直接解决偏微分⽅程的特征值问题（也没有通过问题的边界条件），⽽是使⽤能量最⼩化原则（Prinzip der kleinsten Wirkung）得出计算⽅程。
在量⼦⼒学中，克拉尼图形和其中的“节点形态”直⾄今⽇仍是科学界讨论的焦点——因为驻波⽅程、亥姆霍兹⽅程和定态薛定谔⽅程之间存在着等价关系，即粒⼦在有反射壁的空间中⾃由运动，这使得⼈们能够观察这种量⼦台球（quantum billiards）。奥地利-爱尔兰物理学家薛定谔（Erwin Schr?dinger）曾⽤克拉尼图形的数学解法来得出对电⼦轨道的理解。
⽽在不规则形成的反射壁中，通过振动板对量⼦混沌进⾏观察，“节点形态”在不同的领域⾥也是重要的核⼼：在光场、地震破坏模式、甚⾄在视觉⽪层的模式形成中皆是如此——第368次Wilhelm und Else Heraeus-Stiftung会议正是探讨这些问题。
鉴于这⼀发展态势，拿破仑的预⾔“如果在克拉尼声⾳图形引申道路的探索⽅⾯能取得进⼀步的发展，将这些成果应⽤于其他领域也是⼤有⽤处的”，再回⾸，我们依旧折服于拿破仑的远⻅卓识。
在这⾯映照出隐形世界的镜⼦⾥，展现的不仅是奇幻稠迭的声⾳画像，还有曼妙⼜秩序严谨的数学图景，我们⼏乎看不到⼏百年的时光已悄然流逝。