1986年，著名物理学家费曼在一次纪念狄拉克的演讲中，讲到反物质、对称、和自旋时，为了生动地解释电子自旋，身体力行，模拟演示了一段水平放置的杯子在手臂上的旋转过程。费曼当时以风趣的语言及精彩的表演，赢来掌声一片。费曼奇妙的旋转演示，与物理中深奥的自旋概念，有着什么样的联系呢？二维复数空间的特殊旋转群SU(2)，与三维实数的特殊旋转群SO(3)，是2:1的同态关系。
在物理上，SU(2)中的一个元素，对应于自旋1/2的粒子的波函数在二维表示下的一个转动，它与3维旋转群SO(3)之间2:1的同态关系意味着：如果自旋1/2粒子的一个旋转（U），对应于SO(3)中的某个转动O的话，旋转变换（-U）也将对应于同样的转动O。自旋空间中的旋转只等于真实3维空间中旋转角的一半。这是自旋为半整数的粒子，或者说，费米子的特性。但自旋是微观粒子的内禀特性，经典世界中并无对应物。
那么，在真实世界中是否也存在这种现象，旋转360度不能恢复原来的状态，只有当旋转720度时才能恢复？费曼所作的演示，便给出了这个问题的答案。费曼的演示实验，实际上是来源于狄拉克提出的所谓“Dirac’s belt”、”Dirac’s scissors”等等实验想法。然而，这些真实空间中的旋转演示，毕竟不同于自旋空间中的转动，还是让更为强大的数学武器：李代数来帮助我们，才能对旋转李群有更深的理解。
李群既是群又是无限可微的流形，这一点对研究而言，带来了复杂性，也有其特殊的优越性。李群具有群结构，所以比一般随意变化的微分流形有更多的特色。这使得研究它时有了一些方便之处：比如，根据刚才U(1)群的例子，我们并不需要研究流形上每一个点的切空间，而只需要研究与群的“幺元”对应的那个点的切空间就可以了。这个结论可以从U(1)推广到一般李群。李群上的李代数，就是流形上对应于幺元那个点上的切空间。
不过，要在矢量空间中构成“代数”，还得加上满足一定条件的某种2元运算，这些条件包括：双线性、反对称、雅可比恒等式等。李代数上定义的这种2元运算被称之为“李括号”，用符号[X,Y]表示。换句话说：李代数是用李括号装备起来了的幺元上的切空间。李括号[X,Y]可以用不同的方式定义，比如说：如果流形上定义了李导数，李括号便可以定义为幺元上的李导数。在三维矢量空间中，李括号可以定义为两个矢量的叉乘。
对我们这儿所感兴趣的旋转群来说，矩阵是最简单直观的表示方式，因而，李括号可以用其表示空间的矩阵交换乘法运算来定义：[X,Y] = XY – YX。为什么要研究李代数？因为比较起李群的流形结构而言，李代数（切空间）是性质更为简单的线性矢量空间。李群可以看作是李代数的指数映射：exp(李代数)=李群，李群中群元之间的“乘法”，在李代数中变成了更容易计算的参数相加。
此外，如果李群是连通的，称之为简单李群，（U(1)、SU(2)、SU(3)都是简单李群）。简单李群的任意群元素都可以由无穷小生成元连续作用而生成，李代数便能完全描写简单李群的局部性质。生成元之间李括号的对易性与李群中乘法的对易性密切相关。每一个李群上都有幺元，幺元上的切空间便能定义李代数。反过来呢？有了李代数，可以通过指数映射得到李群，但是，与同一个李代数对应的李群并不是唯一的。
比如，返回到U(1)群的例子。幺元上的切线，即图7-3a中圆圈右侧的直线，便是U(1)群的李代数。二维实数空间旋转群SO(2)和U(1)群同构，因而它们的无穷小群也类似，具有同样的李代数，即1维实数空间R1。然而，全体实数R1的加法也构成一个李群，幺元即为实数0，（图7-3a的左上图），显然，过实数0的切空间就是R1本身。所以，这个实数加法群的群流形和李代数均为R1。
因此，如图7-3a所示，如果反过来，从R1找相应李群的话，找到的李群流形将不止一个。至少能找到像“实数加法群”那种1维实数空间，以及对应于SO(2)或U(1)的单位圆这两种不同的结构。同样的李代数可以对应不同的李群流形，这是因为李代数只能描述李群的局部性质，不能描述流形的整体拓扑。比如图7-3a的两个李群流形，从直观的几何图形就能看出来，单位圆的局部特征与R1是一样的，但整体拓扑结构却不一样。
理论物理中感兴趣的是构成李代数这个线性矢量空间中的基矢量，也叫做李群的生成元。图7-3b显示的是SU(2)的生成元，就是量子力学中的泡利矩阵。李群的生成元与物理中的守恒量密切相关，将在下面一节中叙述。