建立和发展规范理论的物理学家，对美都有一种独特的欣赏方式。杨振宁多次在文章和演讲中感叹物理及数学之美，外尔特别欣赏自然界的对称美，他上世纪50年代初在普林斯顿大学作了一系列有关对称的演讲，后来写成一本名为《对称》的科普小书，广受读者欢迎。外尔早在1929年曾经提出一个二分量中微子理论，但这个理论导致左右不对称，因而破坏了外尔心中的对称之美，最终被他抛弃了。
20多年之后，李政道和杨振宁重新考察这个理论，继而提出了弱相互作用中的宇称不守恒并由吴健雄的实验所证实。李杨二人因此而得到1957年的诺贝尔物理奖，但这时候的外尔已经来不及表示遗憾，因为他在两年前就去世了。外尔对黎曼几何的重要推广，应该是他对仿射联络空间的研究。
首先回忆一下我们在黎曼几何系列中学到的几个概念和名词：流形上每个点的局部邻域可当作是一个欧几里德空间；每个点的切空间上可以定义一个度规张量gij；有了度规张量gij后，可在黎曼流形上定义列维-奇维塔“联络”。比如说，曲面就是2维的流形，它看起来像是由每点附近的一个个小平面粘贴而成，如图3-1。
而为了在黎曼流形上作微分运算，我们在相邻点的切空间之间引进了列维-齐维塔“联络”的概念，具体地说，就是一定坐标表示下的克里斯托费尔符号Γijk。克里斯托费尔符号Γijk可以从度规张量gij及其微分的计算而得到。然后，再以度规和联络为基础，定义协变微分、平行移动、曲率等等。从上面的过程看起来，时空中度规张量gij的角色似乎很重要，爱因斯坦建立场方程的目的就是要求解它。
然而，外尔在研究黎曼几何和广义相对论时发现，黎曼流形上的平行移动及曲率的计算实际上都只与克里斯托费尔符号有关，也就是说只与“联络”有关。换言之，计算曲率不需要用到度规张量，只要有了联络就行了。这是什么意思呢？意思是说对流形的内蕴几何而言，联络是比度量更为基本的东西，度量实际上是不需要的！
打个不一定很恰当的通俗比喻，裁缝要用许多小方布块缝制一顶帽子，或者是类似于如图3-1b所示的某种曲面形状，他只要有许多小布块（切平面），以及他如何将它们互相连接起来的方案（联络），就能够缝制成他想要的任何形状了，并不需要在每个小方块上用不同的尺子（度规）量来量去。既然联络的概念更为基本，那么就可以将度规，也就是度量的概念从所研究的空间中抽去。外尔对规范场理论的贡献，首先得搞清楚什么是规范场？
什么是规范变换？尽管规范一词是从外尔几何中的“长度收缩”，或“度量标准”英译而来，但总的来说，这个词所表达的物理意义最初是来源于经典电磁学中矢量势的使用，经典电磁理论中，四维矢量势A作如下规范变换时，电场E和磁场H保持不变（公式3-1）：其中λ是一个任意函数，这说明对于描述同样的电磁场，四维矢量势A不是唯一的。在这儿的规范变换一词，便反映了电磁系统用4维矢量势来表述电磁场时的这个冗余性。
另一个例子是电路中电压的概念，也反映了系统的某种冗余性。大家都知道电路中“接地”的概念是很重要的，其原因是因为绝对的电压值不是真正起作用的物理量，两点之间的“电压差”才具有实在的物理效应。根据我们在上一节中的介绍，外尔为了统一引力场和电磁场，在黎曼度规上乘了一个任意的尺度因子，这也导致系统有了某种冗余性。然后，他又引入了一个1次形式，让尺度因子和这个1次形式按照一定的规律同时变换来消除冗余性。
这个1次形式就是电磁势，这个变换也叫做规范变换。但外尔的规范变换除了1次型的电磁势如公式（3-1）一样变换之外，还包括了黎曼度规尺度因子的变换：gij → eθ(x) gij。综上所述，规范变换有经典的和量子的，也有整体的和局部的。整体规范变换的实例之一是刚才说的电路接地的问题，经典规范变换在经典电磁理论中与电磁势的冗余性有关。
另外，按照外尔的用法，规范变换和规范场的引入（无论经典的或下面将谈及的量子的），其目的都是企图处理两种力场之间的相互作用问题。带电粒子在电磁场中受到力的作用，但作用的方式在经典理论和量子理论中有不同的解释，见图3-3。从经典理论的观点，带电粒子感受到的是电场E和磁场B。矢量势A只是为了计算方便而引进的数学工具，且矢量势不是唯一的，在A的规范变换下，电场和磁场保持不变。
换言之，经典的带电粒子只认识电场磁场，不知道什么规范不规范。量子理论中的电子的特性就不太一样了，在它们的眼里，电场磁场E和B已经退居第二位，电磁势A出面和它们直接打交道。外尔的规范理论中已经包含这个概念，后来发现的AB效应从实验上证实了这一点。
当初，外尔企图统一引力和电磁力的尝试没有成功，后来，1929年，在福克（Fock）和伦敦（London）的启发下，外尔带着“量子”这个新武器，再次返回到这一课题。这一次，外尔将其原来的理论作了如下两点改变：规范变换不是作用在度规张量gij上，而是作用在电子的标量场f上；原来变换中尺度因子的指数上，乘了一个i，也就是-1的平方根。
第一点改变说明，研究的问题是电磁场和电子的相互作用，而不是原来企图解决的电磁场和引力场的相互作用。第二点改变说明，外尔原来想引入的不可积标度因子，改变成了电子波的一个不可积的“相”因子，在上述两点改变下，规范变成为以下由两个变换组成的联合运算：f → eiqθ(x)f，A → A− iq∂θ(x)。
这儿的Q= q/(hc)，与粒子的电荷q有关，物理学家为了方便起见，一般采用一种特别的单位，称之为自然单位，其中令普朗克常数h和光速c都为1，因而Q=q，规范变换可表示为：f → eiqθ(x)f，(3-2)A → A− iq∂θ(x)。(3-3)公式（3-2）中f是电荷为q的某种带电粒子场，（3-3）的A是引进的电磁场的电磁势。
两个公式所表示的情景与图3-3b所画的一致：电子场f与电磁势A一同变换。在变换（3-2）和补偿变换（3-3）的同时作用下，如果能使得物理规律保持不变，这个变换被叫做规范变换，人们也常常将（3-2）叫做第一类规范变换，（3-3）叫做第二类规范变换，引入的场A则被称之为规范场。改进后的外尔规范理论，已经不是原来的尺度变换理论，而变成了“相因子变换”理论。
它没有了爱因斯坦所批评的“钟和尺”不确定的问题，被成功地应用于量子电动力学中，为实验所精确证实。由此而添加的规范场A，也正确地描述了与电子相互作用的电磁场。在量子理论中，电子场f，或者是波函数f(x)表示的是电子的几率幅，它的绝对值的平方是电子在时空中某一点出现的几率，而复数相位的绝对大小没有物理意义，有意义的只是不同时空点之间的相位差，它影响到几率波的干涉效应。
将几率幅乘上一个相因子eiqθ(x)，意味着几率幅的相位变化了一个角度qθ(x)，对计算几率丝毫没有影响。因此，如果这个相因子是与时空位置x无关的，即θ是整体不变的常数，便完全不会影响物理规律。也就是说，系统的拉格朗日量在整体规范变换下是不变的。
但是，如果推广到局域规范变换，即θ(x)是时空的函数的话，就必须引入一个A，使得在作局域规范变换时，A也相应地变换，才能保证系统的拉格朗日量不变，也就是物理规律不变。按照图3-4，再将“规范变换”的图像总结一下。经典理论中，每个时空点电磁势A的数值被允许在一定范围内变化，但仍然保持场强不变。想象这些A的数值在时空点上堆成一个高塔，或称之为“纤维”。
电磁势的值在纤维上滑动，经典电子感觉不到这种滑动，如图3-4a。但在量子理论中，电子运动用它的波函数（几率幅）描述，几率幅遵循一种整体对称性：波函数可以相差一个任意相因子eiq而不改变物理规律，这叫做整体规范对称，见图3-4b。如果将整体规范对称推广到局部规范对称，也就是相因子的指数q是时空的函数q(x)的情况，便得到图3-4c。
这种情况下，当电磁势A的值在纤维上滑动的同时，电子的场变量f(x)在复数平面上转圈，两者的总效应保持物理规律不变。