金虎奔腾辞旧岁，玉兔欢跃迎新春，转眼间春节假期就已经离我们远去了。在这个“美好时刻”里，笔者忍不住想起了“守株待兔”的故事——“宋人有耕者。田中有株，兔走触株，折颈而死。因释其耒而守株，冀复得兔。兔不可复得，而身为宋国笑。”作为一位打工人，此刻不免有个疑问，有没有可能科学、合理、可持续地守株待兔，而不会像寓言里的那位宋国人一样遭人嘲笑呢？
为了方便研究，我们抽象化问题的表述。假设宋国人某段时间守株待兔成功的几率为p，显然这一段时间在树下一无所获的概率为q = 1 - p，其中0 ≤ p ≤ 1。对于这种只有两种结果的单次随机试验，我们又称为“伯努利试验”，由数学家雅各布·伯努利提出。根据上面伯努利试验的设定，我们可以得出对应的概率分布，即伯努利分布，又称两点分布或者0-1分布。
对于离散随机变量，其对应概率质量函数（probability mass function, pmf），如上图；对于连续随机变量，其对应概率密度函数（probability density function, pdf），如下图）。很显然，伯努利分布是一个离散型概率分布，根据定义我们可以得到其pmf。如果取p = 0.3，我们可以得到函数图象。同时我们也可以求得伯努利分布的数学期望。
按照寓言的设定，宋人“因释其耒而守株，冀复得兔。”为了简化问题，我们假设兔子撞树属于独立事件，也就是说其他兔子并没有因为之前的事件意识到超速的危害，也没有将事故现场标记为事故多发路段。多次守株待兔问题的本质其实就是n次独立的伯努利试验中成功的次数的离散概率分布。
同样地，继续假设宋国人某次守株待兔成功的几率为p，宋人一共“守株”n次，其中k次成功，那么结合前面伯努利分布的结论，我们可以得到新的pmf。
经过之前的铺垫，下面让我们来讨论真实的场景，即我们如果亲自去守株待兔会有怎样的结果。故事的结局里，宋国人终日守在树旁（即试验次数n很大），但“兔不可复得，而身为宋国笑”。我们以此作为样本可知，兔子撞到树上的概率是非常低的（概率p非常小）。
我们考虑极限情况，令n趋近于无穷（n是试验次数，“趋于无穷”描述了守株待兔过程中“终日守在树旁”的状态）。那么，上一节中的二项分布可以写作。此处我们代入上一节中二项分布的期望值λ = np，即p = λ/n。为了后面计算的方便，这里我们引入自然常数e的定义。
综上所述，建议屏幕前的朋友们开工之后一定要认真地工作学习，毕竟天上掉馅饼的概率极小，而且很可能也不太好接。