康托是因何开始了对无穷的研究工作？他的观念有什么革新？其成就对现代数学和哲学产生了怎样的影响？在数学创造的道路上，面对种种选择抑或困难，康托又做出了怎样的抉择？这种抉择的标准和勇气来自何方？他的⼀生到底是幸还是不幸？这些都是我们关心的问题。
康托（G. F. L. P. Cantor，1845-1918）是一位具有非凡想象力和创造力的数学家。19世纪的数学家们，比如柯西（L. A. Cauchy，1789-1857）、魏尔斯特拉斯（K. T. W. Weierstrass，1815-1897），一直为微积分的严格化殚心竭虑。魏尔斯特拉斯，被誉为现代分析之父，康托在柏林大学的老师，对康托从事后来的研究产生了很大影响。
在这⼀过程当中，康托抛却了以往的经验与直观，拿起理论论证的武器，冲出了数学中有限性的阻碍，打破了数学中对于无穷的一贯解释和运用方式，创立了全新的集合论和超穷数理论。
在康托的年代，有一部分数学家像克罗内克那样不承认无穷，也有一些数学家像高斯那样只承认潜无穷，而不承认实无穷。但数学概念不能只停留在描述的层次上，必须是严格和精确的。于是对无穷的这种探索不仅仅是自然的，而且也是必要的。
康托在海涅的直接影响下由数论转而研究分析，并很快便取得成果，分别于1870年和1871年在《数学杂志》上发表了论文，证明了函数三角级数表示的唯一性定理，并证明即使在有限个间断点处不收敛，这个定理依旧成立。
1872年，他在《数学年鉴》上发表了论文《三角级数中一个定理的推广》，把唯一性定理推广到允许例外值为某种无穷集合的情形。由此，他对无穷集合的重要性有了新的认识，开始对无穷集合进行一般理论研究。自此，他开始从对唯一性问题的探讨转向点集论的研究，把无穷点集上升为明确而具体的研究对象。这不仅是他个人研究的一次标志性变化，而且开启了数学发展的一个新时代。
康托为了描述这种无穷集合，引入了一些新概念，比如点集的极限点、点集的导集以及导集的导集等。1872年，他首先用有理数列来构造实数，由此说明，实数跟虚数一样，也是纯粹由人来构造的。
在康托的这一时期的研究生涯中，他有一个志同道合的朋友，那就是戴德金（J. R. Dedekind，1831-1916）。
他们结识于1872年，这一年，戴德金出版了《连续性与无理数》一书，用后人所称的“戴德金分割”定义了无理数，建立了完整的实数理论。同样在1872年，康托也讨论了实数问题。因此二人建立了通信联系。他们都关注实数理论以及集合论，之后经常彼此交流各自的研究进展情况。在1874年康托度蜜月期间，他们初次相遇，并进行了很多数学交流。他们的通信交流一直持续到1882年。
1874年，康托在《纯粹与应用数学杂志》（即《克雷尔杂志》）发表论文《论所有实代数数的集合的一个性质》。这篇论文标志着集合论的诞生。康托的证明是开创性的。在没有构造出一个超越数的前提下，大胆提出这样的命题，使得当时的一部分数学家持有怀疑态度并有些出离愤怒。
1877年，康托证明了单位正方形与单位线段上的点可以建立起一一对应的关系。而这个问题是康托三年前首先对戴德金提出的。康托得到证明后也第一时间写信告诉了戴德金。戴德金发现了其中一个漏洞，后来康托把这个漏洞予以弥补。康托还进一步推出：空间中的点与平面上的点一样多等。
1879至1884年，康托集中探讨线性连续统，康托这个阶段的论文汇集为《关于无穷的线性点集》。其中，发表于1880年的文章第一次引进了“超穷数”这个概念。
1895和1897年，康托以《对超穷集合理论的解释》Ⅰ和Ⅱ为题先后发表在《数学年鉴》上的两篇论文，对超穷数理论具有决定意义。他把集合作为基本概念，从而改变了早期用公理定义序数的方法。至此，超穷基数和超穷序数理论基本宣告完成。
希尔伯特（D. Hilbert，1862-1943）在1900年举办的第二届国际数学家大会上，高度赞扬了康托的集合论：“是人类纯粹智力活动的最高成就之一”。正是在这次大会上，希尔伯特提出了指引未来数学发展的著名的23个问题，其中把康托的连续统假设列为第一个问题。