四色定理指的是“在地图上分块涂色以区分相邻地区的话，只用4种颜色就足够”的定理。看起来似乎不难理解，但人们历经了124年的时间才证明了它。然而，其证明方法却引起了广泛的争论，甚至波及到哲学领域，并且给大众留下了“证明到底是什么？”这样的问题。
在解说四色定理之前，我们先来谈谈“定理”的意思。和定理相似的词还有“公理”和“公式”。公理指的是作为数学基础的假设。
例如，“由任意一点到另外任意一点可以画直线”就是一个公理的例子（欧几里得《几何原本》中的第1公设）。在公理的前提下推导出的事实被称为定理，而对于用数学式来表示的定理又被称为公式。在数学里，经常会听到“○○问题”“△△猜想”这样的说法，它们指的是尚未被证明的定理或者公式。美国的克雷数学研究所（Clay Mathematics Institute）宣布的“千禧年大奖问题”就非常有名。
四色定理在被证明之前，被称为“四色问题”。那我们从这里，也先把它称为四色问题吧。对于定理和问题，如果能够给出它是“正确的还是错误的”(真伪）之一的答案的话，又能被称为“命题”。具体到四色问题，因为需要证明它的真伪，所以它也是一个命题。
四色问题是针对平面上绘制的地图分块涂色区分加以考虑的。使用现实中的地图也可以，自己想象的地图也可以。让我们准备好纸和彩色铅笔，按照自己的想法先画地图，再用彩色铅笔试试进行分块涂色区分吧。要注意，这时候相邻的区域一定需要用不同的颜色填涂。但是，如果两个区域只有一个点相接的话，不被认为是相邻区域。
另外，如果不是在平面上，而是对在像甜甜圈一样的立体表面上绘制的地图进行分块涂色区分的话，最多需要7种颜色。也就是说，对于在有空洞的立体表面上绘制的地图分块涂色区分，可能要用到超过4种颜色。不过，对于像地球这种没有空洞的立体，其表面上的地图分块涂色，同样只需要4种颜色就足够区分。
四色问题是在距今大约170年前的1852年，由当时还是学生、后来成为数学家的弗朗西斯·格思里（Francis Guthrie，1831～1899）提出的。
他的弟弟、之后成为物理学家的弗雷德里克·格思里（Frederick Guthrie，1833～1886）知道了这个问题后，向他的老师、当时的英国数学家奥古斯塔斯·德·摩尔根（Augustus De Morgan，1806～1871）询问了四色问题是否正确。
到了1878年，英国既是数学家又是律师的阿瑟·凯利（Arthur Cayley，1821～1895）在伦敦数学学会再次提出了这个问题，让四色问题重见天日。此时，英国的业余数学家艾尔弗雷德·肯普（Alfred Kempe，1849～1922）得知了这个问题，并很快就宣布解决了四色问题。肯普独创了被称作“肯普链”的方法，并认为用这种方法能够成功证明四色问题。
1890年，英国数学家珀西·希伍德（Percy Heawood，1861～1955）指出了肯普证明里的错误。他也是证明了环面上的地图最多只需要7种颜色来填涂区分的人。希伍德虽然指出了肯普证明里的错误，但是他也并没能证明四色问题本身。取而代之的是，他利用肯普的思路，证明了在平面或球面上绘制的地图，最多只要有5种颜色就能填涂区分（五色定理）。
对于四色问题，实际上可以用一个很有效的方法来思考。首先，在由边界线包围的各个区域里放置一个“点”，再把相邻区域里的点用线连接起来。比起原本纷繁复杂的地图，这样抽象化后，理解起来能更加简洁吧。像这样只利用点和线来表示各种“连接关系”的理论被称为“图论”，是一种对组合问题进行简洁记述的有效手段。
美国数学家肯尼思·阿佩尔（Kenneth Appel，1932～2013）与德国数学家沃尔夫冈·哈肯（Wolfgang Haken，1928～）基于反证法考查了各种各样的图。可是，他们发现了这样做的工作量非常庞大，需要花费很多时间。于是，他们决定使用电子计算机来进行验证。
这两位数学家对大约2000种的点线图模式，先是人工运算，然后使用了3台电脑（包含当时最先进的电脑），进行了验证。计算时间总计约花费1200小时，打印了计算结果的纸张垒起来高达1.2米。如果这些计算结果是正确的话，就会和最初的“四色问题不成立”的假设相矛盾，从而达到证明四色问题的目的。
之后，由其他数学家对这些计算结果的正确性进行了验证后，四色问题终于得到了证明。这时，已经是离弗朗西斯·格思里提出问题124年之后的1976年了。但是同时，对于这样使用了计算机进行了大量计算并以计算结果作为证明的方法，出现了很多批判的声音。这是因为，当时大家认为对于数学而言，证明应该是能用人的手和脑来“简洁优美”地完成的事情。
现在，四色定理还被应用于配置移动电话基站位置这一领域。为了不让频率完全相同的基站相邻，需要对基站的频率配置加以“填涂区分”。看着好像和我们的生活没太大关系的数学定理，其实一直活跃在日常生活中。