巴拿赫-塔斯基悖论把一个球分割为有限个部分，再把这些部分重新组合。此时，虽然不能对这些部分进行伸长和缩短等变形，但是可以对它们平移和旋转。这样就可以产生和原来的球相同大小的两个球（实际上不仅可以组成两个，还可组成任意个）！这样的事情可能发生吗？一起来了解一下给20世纪初期数学界带来了剧烈冲击的“巴拿赫-塔斯基悖论”吧~
1924年，波兰数学家斯特凡·巴拿赫和阿尔弗雷德·塔斯基发现了一个惊人的数学事实。那就是，“把一个球分割为有限个部分，把这些部分重新组合，可以组成和原来的球相同大小的两个球（实际上不仅可以组成两个，还可组成任意个）”。也就是说，把一个球分割打碎后再组合即可得到两个和原来相同的球！此处，对于分割后的部分虽然禁止伸长和缩短等变形，但是重新组合时，可以对它们进行平移和旋转。
几乎所有人都会认为“怎么可能出现这样的事情呢？”实际上，正因为这个发现过于令人不可理解，当初被称为悖论。但是现在由于已经在数学上证明了它的正确性，所以已经被称为了“巴拿赫-塔斯基定理”。但是这个定理，并不意味着你把家里的网球撕烂成小块就能巧妙地重新组合成两个网球。这个定理所说的“分割”是一种特殊的手段，在现实世界中并不适用。那么，为什么当时会想出这样一个悖论呢？
其背景是当时的数学界对于“选择公理”是否成立存在争论。这是一个难度很高的数学话题，我们在此简单地说明一下它的概要吧。选择公理是“集合论”里面的公理之一，于1904年由德国数学家恩斯特·策梅洛发表。集合论指的是用数、式子和符号等对包含了各种各样元素的“集合”的性质进行考察的领域。选择公理的内容讲的是，“当某个集合是由多个子集合组成时，可以从每一个子集各选出一个元素来构成一个新的集合”。
在很多人看来都会觉得这是理所当然的吧。
在这样的背景下，如果使用选择公理的话，就出现了能够推导出巴拿赫-塔斯基悖论的结果。对球分割的时候，就需要使用到选择公理。在那之后对选择公理的争论继续升温，到1938年终于画上了休止符。以“不完备定理”著名于世的数学家库尔特·哥德尔证明了“即使假设选择公理正确，也不会导致集合论里产生新的矛盾”。基于此，“巴拿赫-塔斯基悖论”终于正式地变成了“巴拿赫-塔斯基定理”。