“庞加莱猜想”是由法国数学家亨利·庞加莱于1904年提出的超级困难的猜想。到了猜想提出约百年后的2002年，俄罗斯数学家格⾥⼽⾥·佩雷尔曼发表了证明猜想的论⽂。论⽂的正确性于2006年得到确认，终于给挑战的历史画上了句号。迷倒了很多数学家的庞加莱猜想到底是什么？它对各科学领域⼜产⽣了怎样的影响？让我们来回顾⼀下数学家的挑战历史及其意义吧。
2002年，⼀个很有意思的话题在数学界⾥流传，那就是互联⽹上出现了号称证明了“庞加莱猜想”的论⽂。论⽂的作者是俄罗斯数学家格⾥⼽⾥·佩雷尔曼。2003年4⽉，在美国纽约⼤学进⾏庞加莱猜想证明⽅法讲座的佩雷尔曼。
所谓庞加莱猜想，是由亨利·庞加莱于1904年提出的猜想问题。美国克雷数学研究所于2000年将其作为7个“千禧年⼤奖问题”之⼀并给出了100万美元（约650万元⼈⺠币）的悬赏。在过去⼤约⼀百年间，有很多数学家曾经尝试证明庞加莱猜想这个超级难题，但是都没有成功。所以在佩雷尔曼发表其论⽂的初期，据说⼤部分数学家都没有真正关注。
但是，当时美国麻省理⼯学院（MIT）的⼀位数学家确信该证明是正确的，并邀请佩雷尔曼对此作特别讲座。2003年，佩雷尔曼在麻省理⼯学院等3所⼤学举办了特别讲座。随后，很多数学家团队对其证明进⾏审核。证明的正确性于2006年被确认，终于为持续百年的庞加莱猜想挑战历史画上了句号。不过，虽然已经得到了证明，⼤家现在仍然习惯将其称为“庞加莱猜想”⽽⾮定理。
与猜想⼀同发展的“拓扑学”简单地说，庞加莱猜想是被称为“拓扑学”的⼏何学领域⾥的问题。在中学阶段学习⼏何学时，我们主要是从⼤⼩、⻓度、⻆度等⽅⾯对图形的性质进⾏探索。⽽拓扑学则是通过拉伸、蜷曲等对图形进⾏连续变形的⼿段来研究图形的性质（但是不允许切开、黏合等图形变形⼿段）。拓扑学具有不在乎图形⼤⼩、⻓短等的特征，所以⼜被称为“柔软的⼏何学”。
经常被当做例⼦的就是甜甜圈和咖啡杯，这两个图形在拓扑学⾥被认为是同⼀种图形。为什么呢？因为甜甜圈和咖啡杯的孔洞数⽬都为1个，可以通过拉伸和蜷曲等⽅式把它们变换为对⽅的形状。像这样的关系就称为“拓扑等价”（同胚），⽽把孔洞数⽬这样在变形后具有不变性质的称为“不变量”。实际上，拓扑学就是庞加莱开创的⼏何学，是⼀个与庞加莱猜想的研究⼀同得到发展的领域。何为庞加莱猜想？
庞加莱猜想所说的是“任何⼀个单连通的3维闭流形⼀定拓扑等价于⼀个3维球⾯”这样的内容。这到底是什么意思呢？⾸先，所谓“单连通”，指的是“在某个图形表⾯画⼀条闭曲线时，对闭曲线进⾏收缩（想象为收紧橡⽪筋的过程）后，最终⼀定能聚集成为1个点”（详述⻅后）。接下来，“流形”则是指满⾜某个性质的图形或者空间。因其实际的定义⾮常难懂，在此省略说明。
读者们只要想象⼀下“能认识其局部但是对其整体并不是特别清楚的图形或者空间”。
拿身边的事物举例的话，宇宙就是⼀个流形。流形当中，⼤⼩并⾮⽆限⽽是有限的流形被称为“闭流形”。那么，“3维闭流形”⼜是什么呢？它虽然名字叫做3维，但其实指的是“4维空间（超⽴体）的表⾯”。很遗憾，对于居住在3维空间中的我们⽽⾔，很难想象4维空间的表⾯到底是什么形状。也就是说，谁也不知道3维闭流形和3维球⾯到底是什么样的形状。那么，我们把维度降低1维，试着对“2维闭流形”为何物进⾏考察。
所谓2维闭流形，指的就是“3维图形（⽴体）的表⾯”。我们⽣活的空间，因为有左右、上下、前后这样3个⽅向（维度），所以是3维空间。球体、骰⼦等⽴体图形的表⾯则是⼀个2维闭流形。其中，在2维闭流形⾥，球体的表⾯被称为“2维球⾯”。
那么，我们来考虑⼀下，在球体的表⾯放置⼀根闭曲线，然后对它进⾏收缩的过程（下图）。我们可以知道，闭曲线最终⼀定会聚集收束成⼀个点。也就是说，球⾯是单连通的。接着，再考虑在骰⼦表⾯放⼀根闭曲线并对其收缩的过程，我们也可以知道最终⼀定会聚集收束成⼀个点。也就是说，骰⼦的表⾯也是单连通的。所以球体和骰⼦的表⾯都是单连通的。
然⽽，“环⾯”上的情况⼜如何呢？环⾯指的是像甜甜圈那样开了⼀个孔洞的⽴体的表⾯。在⽴体表⾯对闭曲线进⾏收缩的过程中，闭曲线必须满⾜不能脱离这个⽴体表⾯的条件。但是，如果对上图右侧所示的2种闭曲线放置⽅式进⾏收缩，同时满⾜上述条件的话，闭曲线是不可能通过收缩聚集到⼀个点的。这对于有两个以上孔洞的情况也是⼀样的。也就是说，像环⾯这样包含孔洞的⽴体表⾯，就不是单连通的了。
对于闭曲线⼀定能够聚集成⼀点的2维闭流形来说，是不会存在孔洞的。这也意味着“任何⼀个单连通的2维闭流形⼀定拓扑等价于⼀个2维球⾯”。庞加莱当时认为，把维度升⾼1维后，3维闭流形应该也存在着同样的关系。也就是“任何⼀个单连通的3维闭流形⼀定拓扑等价于⼀个3维球⾯”，这就是庞加莱猜想。
庞加莱猜想在4维以上成⽴。实际上，庞加莱猜想在4维以上的闭流形也成⽴的情况反⽽先被证明。5维以上的情况在1960年、4维的情况在1982年分别被证明。由于⾼维庞加莱猜想已经被证明，所以只剩下了3维的情况了。在4维庞加莱猜想被证明后没多久，美国数学家威廉·瑟斯顿发表了⼀个被称为“⼏何化猜想”的猜想。这个猜想说的是：“⽆论什么形状的3维闭流形，⼀定是由8种基本⼏何结构组成的。
”让我们把这个猜想放在2维闭流形上来看看。在拓扑学的世界⾥，2维闭流形可以分为以下3种：⼀个孔洞都没有的球⾯、有⼀个孔洞的环⾯以及多个环⾯横向连接的表⾯（具有两个及以上孔洞）。基于孔洞个数分类的理由是：这样可以表现出2维闭流形表⾯的性质。这⾥说的性质是指⽤来描述表⾯形状（曲⾯）弯曲程度的指标，即“曲率”。
⾸先，球⾯永远是向内侧弯曲的，所以其曲率是正数（下图）。其次，环⾯切割铺开后变成平⾯，所以曲率为零。⽽有两个以上孔洞的表⾯展开后会翘起来，变成被称为“双曲⾯”的曲⾯，所以其曲率为负数。对于3维闭流形的8种基本⼏何结构，也可以使⽤与曲率相对应的概念来分类。3维球⾯也是其中的⼀种。
数学家们已经知道，如果瑟斯顿的⼏何化猜想正确的话，就意味着⽆论什么形状的单连通3维闭流形就⼀定拓扑等价于⼀个3维球⾯。也就是说，如果证明了⼏何化猜想的正确性，庞加莱猜想的正确性也就得到了证明。
将3维闭流形漂亮地成形。意识到这⼀点后，很多数学家都开始认真投身于⼏何化猜想的证明。随后，其中的⼀个⼈、美国数学家理查德·哈密顿想到了使⽤被称为“⾥奇流”的⽅程式开展证明的⽅法。⾥奇流与表示热量随着时间慢慢扩散过程的⽅程式很相似。他认为通过使⽤⾥奇流，应该可以把复杂形状的闭流形慢慢地成形为漂亮的形状。基于此，他确信应该可以将所有的3维闭流形都分割成8种基本⼏何结构。
上图示意了2维闭流形通过逐渐变形成为球⾯再到点的过程（从左到右变形）。此过程⽤到了⾥奇流的计算。到1990年左右，在临近完成⼏何化猜想证明的时候，哈密顿却遇到了很⼤的障碍。在持续进⾏⾥奇流计算时，曲率会变得⽆限⼤，从⽽出现了⾮闭流形的空间，称为“奇点”。⽽哈密顿始终没能消除这个奇点。
突破这个奇点的⼈便是佩雷尔曼。他在奇点出现之前就把它找出来，在它快要成为奇点的时候，把闭流形分割开，并在分割后的闭流形上各⾃继续进⾏⾥奇流的计算。通过这种巧妙的⽅法，他终于彻底证明3维闭流形是由8种基本⼏何结构组成的。随后，他把这个结果总结成论⽂，并于2002年上传到互联⽹上。这篇论⽂的正确性如本⽂开篇所述，得到了数学界的确认。
拒绝与周围往来地佩雷尔曼。佩雷尔曼的功绩得到了认可，被授予称为“数学界诺⻉尔奖”的菲尔兹奖。但是他却拒绝领取。另外，他也拒绝了千禧年⼤奖问题的100万美元赏⾦（这也是唯⼀⼀个得到解决的千禧年⼤奖问题）。实际上，⾃2003年在3所⼤学举⾏了特别讲座后，不知为什么，佩雷尔曼就突然断绝了与数学界的往来。这个轰动社会的事件使得庞加莱猜想不仅在数学界也在全社会⼴为⼈知。
另外，庞加莱始创的拓扑学也随着数学家对庞加莱猜想的不断挑战得到了巨⼤的发展。菲尔兹奖的获奖者中有⼀半以上都与拓扑学相关，可⻅拓扑学对数学的影响之⼤。拓扑学不仅在数学领域，⽽且在物理学、⽣物学等各个领域也受到关注。例如，2016年诺⻉尔物理学奖就授予了使⽤拓扑学思想探究物质性质的3位物理学者。如此，拓扑学已经成为科学界不可或缺的领域，可以说庞加莱猜想起到的作⽤与影响是不可估量的。