帕帕佐普洛斯及其合作者提出的映射的艺术插图，将网络的离散生长重新定义为潜在几何空间中粒子连续的、类似扩散的行为。图片来源：I. Bonamassa/Central European University 时变网络与输运理论之间的联系为网络运动预测方程的发展开辟了新的前景。
现实世界中，许多网络结构都会随时间而变化：例如社会交往、细胞中基因的激活和金融市场中策略的制定，网络的连接与断开时时刻刻都在发生。网络科学的主要目标之一就是理解和检测这些微观运动学，很大程度上是因为它能够及早发现，并预防自然和人为灾害。
塞浦路斯共和国的塞浦路斯理工大学（Cyprus University of Technology）的弗拉吉斯科斯·帕帕佐普洛斯（Fragkiskos Papadopoulos）领导的团队通过将网络的离散动力学重新建模为连续时间序列，在这个问题取得了开创性的见解。研究人员发现，如果将链接的断裂和形成表示为在适当的几何空间中移动的粒子，那么它的运动是亚扩散的——也就是说，比它正常扩散要慢。
更重要的是，分数布朗运动能很好地描述粒子的运动，这是爱因斯坦经典模型的一种推广。这一重大发现建立了时变网络运动学与异常输运理论之间的深刻联系，为网络运动预测方程的发展开辟了新的前景。网络，无论是代表大脑还是基础设施，都是动态系统，其中一组点或节点根据基本的连接规则相互连接。识别这些规则一直是网络科学的重要主题。
多年来，人们已就形成连接的两个同等重要的因素达成了共识：“流行度”，即高度连接的节点随着时间推移会吸引大多数新连接；以及“相似度”——在社会学的语境中被称为同质性，它体现了相似实体连接的趋势。2012年，帕帕佐普洛斯和另一个合作团队合作发表了一篇开创性的文章，他们研究了利用连接规则构建的网络，该规则优化了这两个因素的乘积：一个新节点将连接到现有节点中最流行和最相似的节点。
这样的网络能够准确地描述许多真实系统的基本特征，包括小世界属性、高集群水平和自相似性。最重要的是，这些模型网络还包含了隐藏在其离散结构中的潜在几何表示。要揭示这种几何映射，可以将一个生长网络的节点投影到二维极坐标上。新节点的径向坐标由它年龄的对数决定。由于较老的节点有更多机会吸引连接，所以年龄是衡量流行度的标准。同时，角度坐标的分配方式是，两个节点在圆周上越接近，它们就越相似。
在这种表示方法中，最优的连接规则具有简单的几何解释：它在双曲空间中以最小距离连接节点。这种空间以负曲率为特征，因为两个节点之间的双曲距离等于它们流行度和相似度乘积的最小值。
将网络映射到潜在的几何空间，带来了一系列通常只适用于连续系统的物理工具和思想。这些工具包括几何重正化和时空对称性识别，类似于宇宙学或广义相对论中的特征，它们保持了网络的大尺度结构不变。这就是为什么几何概念的融入改变了网络物理学的游戏规则：它超越了网络的离散拓扑特性，使得人们能够在连续空间中进行研究。
在他们的最新工作中，帕帕佐普洛斯和他的合作者将网络几何的这一强大特性应用于解决网络科学中的一个重大挑战：是否存在能够表征复杂网络系统时间演化的基本运动方程？要理解这个问题为何棘手，不妨考虑一下网络动力学的历史。这是一个经过深入研究的领域，它依赖于大量离散模型，通过简单的连接规则来预测网络的大规模结构。
一方面，这些模型的离散性有助于揭示伴随网络生长的深刻现象，例如边缘的玻色-爱因斯坦凝聚，其中单个节点捕获了绝大部分的可用链接，以及类似于二维自旋模型中的Berezinskii-Kosterlitz-Thouless相变。另一方面，正是这种离散性阻碍了伴随网络演化的随机过程中共同方面的识别，从而阻碍了统一理论框架的建立。
帕帕佐普洛斯和他的团队所取得的进步根植于这样一种思想：即网络的离散生长可以映射到它们相应几何空间中的连续单粒子轨迹上，然后可以通过经典输运理论来理解运动学，从而有可能得出更一般的运动方程。帕帕佐普洛斯和他的团队利用双曲表示法，展示了六个不同的真实世界时变网络的轨迹——其中包括美国航空运输、比特币交易和arXiv合作——表现出普遍的亚扩散运动学，并且可以被分数布朗运动（一种广义布朗运动）很好地描述。
这种类型的亚扩散运动学通常出现在拥挤的生物系统中，其中粒子在具有不可穿透的墙壁或能垒的环境中扩散。帕帕佐普洛斯和他的团队观察到一种隐藏的分数布朗运动在驱动网络生长，这表明了类似的解释。现实世界网络中常见的集群和模块化结构，通过作为新节点的拓扑陷阱，限制了系统的增长。集群等特性可以量化网络中三角形的普遍程度，是几何性的代用指标。
这是因为它们反映了存在一个潜在的度量指标，增加了共享邻居的节点也相互连接的可能性。因此，可以合理地预期，网络的潜在亚扩散生长与它们的潜在几何有关。实际上，帕帕佐普洛斯和他的团队提供的结果也支持这一预期。研究人员表明，缺乏潜在几何空间的网络模型也缺乏任何潜在的亚扩散运动，而是具有纯粹的扩散轨迹。
这一发现具有激动人心的意义。一般来说，随时间增长缓慢的运动学更有可能被预测。帕帕佐普洛斯和他的团队分析的潜在轨迹确实表现出显著的可预测性，其增长速度非常缓慢——这一特性使它们类似于所谓的粗糙波动金融模型。同样地，与生物过程的高度相似性也提出了重要的问题。具体来说，为什么时变网络通过亚扩散运动演化？这是否是因为它以类似于活细胞演化的方式导致适应性改进？
更一般地说，潜在运动学在预测房地产市场或流行病中的临界点或灾难性转变方面会有多大帮助？此外，帕帕佐普洛斯和他的团队观察到了亚扩散轨迹，但超扩散运动呢？它是否也有几何表示？我们目前还不清楚回答这类问题是否会最终得出网络的一些基本运动方程。就目前而言，帕帕佐普洛斯和他的团队的壮举使我们能够设想未来研究的方向，以应对这一重大挑战。