把科学带回家
2023-11-14 06:20:22
转自公众号：环球科学
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这是⼀份最科学的抛硬币教程。
撰⽂ | 冬鸢
审校 | 栗⼦
我们常会反复纠结某个问题⽽难以迅速作出决定，⽐如，今晚吃炸酱⾯还是麦当劳；又⽐如，要不要接受某个⼯作机会；或者是今晚要不要去跟TA表⽩……
这时，很多⼈会抛个硬币，⽤硬币的正反⾯替⾃⼰做出选择。甚⾄在⼀些重⼤场合，⼈们也常⽤抛硬币来做重要决定，⽐如世界杯球赛中，裁判员会通过抛硬币决定哪只队伍先开球。
初中数学课本告诉我们，抛⼀枚质地均匀的硬币，得到正反⾯的概率相等。因此，⼈们认为硬币替⾃⼰做出的选择⼀定是公正的，没有私⼼的。不少数学家也做过实验证明，当抛硬币次数⾜够多时，得到正反⾯的频次接近1:1，包括曾抛了2万多次硬币的数理统计学创始者卡尔·⽪尔逊（Karl Pearson）。
但如果我现在告诉你，抛硬币得到两⾯向上的概率其实不相等，你又怎么看？
两⾯概率不相等
最近，⼀群⽆聊的科学家聚在⼀起，⽤46种不同的硬币抛了350 757次，总耗时约20个⼩时。然后他们发现，抛出的硬币落下后，向上的那⼀⾯和硬币抛出前的初始⾯相同的概率略⾼，约为51%。
也就是说，假如你将硬币抛离⼿中时，它是正⾯向上，那最终硬币落下时，其正⾯向上的概率更⾼，反之亦然。
他们还发现，⼀些⼈抛硬币得到和起始⾯相同的那⼀⾯的概率更⾼；⽽另⼀些⼈则更接近理论值，即得到两⾯的概率都是50%。他们将这项研究发表了在预印本⽹站arXiv上，还未经同⾏评审。
很显然，这说明，特定的抛硬币⽅式，或许可以让特定⾯向上的概率更⾼。
那么，有没有可能通过练习，让抛出去的硬币落下时，永远是⾃⼰想要的那⼀⾯向上呢？
理论上是可以的。
数学家佩尔西·戴康尼斯（Persi Diaconis）在成为美国斯坦福⼤学的数学和统计学教授之前，曾做过魔术师。他经常研究与“赌博”相关的数学，⽐如如何洗牌、如何掷骰⼦，当然也包括如何抛硬币。
早在2007年，戴康尼斯和他的团队就在论⽂中展⽰了⼀个抛硬币装置，这个装置将硬币抛出后落到指定位置，最终硬币向上的那⼀⾯在100%的情况下都与它的起始⾯相同。
而人类在⽤⼿抛硬币时，也可以达到这样的效果，⽐如⼀些魔术师就可以通过⼀些技巧控制抛硬币的结果。
其实如果掌握了原理，多加练习，你也可以做到。所以我们就先来学习⼀下原理，然后⼤家回家⾃⼰练习。
⾸先我们需要知道，标准情况下，抛向空中的硬币是怎样运动的。
忽略空⽓阻⼒的影响，当我们将硬币抛向空中，硬币会沿着⼀个位于硬币平⾯且平⾏于地⾯的“轴”，做翻转运动。学过物理的朋友们可以很快反应过来，这个“轴”正好是硬币旋转的⾓动量（angular momentum）所在的直线。
然后我们⽤⼀点简单的中学物理来分析⼀下硬币的运动。
假设硬币以初速度vz从距地⾯⾼度z0的⼿中被抛出，t秒后落回到⼿上，那么通过z0 + tvz – (g/2)(t)2 = z0可以计算出t = vz/(g/2)。
假设硬币在空中每秒翻转ω次。在抛出硬币到硬币回到⼿上的过程中，如果硬币翻转了偶数次（即2j < ωvz/(g/2) < 2j+1，其中j为整数），那么硬币最终向上的⼀⾯与初始⾯相同；如果翻转了奇数次（即2j+1 < ωvz/(g/2) < 2j+2，其中j为整数），则与初始⾯相反。
所以只要你能精确控制硬币的初速度、⾼度和翻转速度，就能精确控制抛硬币的结果。
如果我们在硬币翻转了整数次时，做出转速ω关于时间t的图像，可以得到很多条双曲线，如下图所⽰：
假如硬币初始⾯为正⾯，⽽翻转速度和时间（ω,t）落在图中的阴影⾥，最终正⾯向上；若是转速和时间位于阴影之外的空⽩部分，结果则是反⾯朝上。
但是，此时阴影部分的⾯积和空⽩部分的⾯积是相等的，得到正⾯和反⾯的概率仍然是1:1。如果要出现上⽂提到的偏差，又该如何操作呢？
进动
以上分析是基于标准情况，抛出的硬币沿着平⾏与地⾯的“轴”翻转，也就是硬币旋转的⾓动量⽮量平⾏于地⾯。
但戴康尼斯指出，这只是⼀种特殊情况。实际上，很多⼈抛出的硬币在空中旋转时，⾓动量是与地⾯不平⾏的。
我们可以⽤如下的模型来解释：
假设硬币抛出时正⾯向上，则垂直于硬币平⾯的法线（n）与⾓动量（M）会存在⼀个夹⾓（ψ），当硬币转动的轴与地⾯不平⾏（即ψ不为90°）时，硬币法线n就会绕着⾓动量M旋转，这也叫进动（precession）。
若硬币在抛出后的t时刻落回⼿上，当此时硬币法线N(t)与垂直地⾯⽅向的向量K的夹⾓余弦τ(t) ⼤于0时，硬币正⾯向上；⼩于0时，反⾯向上（起始⾯为正⾯）。
⽽对于这个余弦τ(t)，我们可以⽤τ(t)=cos2 ψ +sin2 ψ cos(ωNt)这个式⼦来计算，其中ωN为硬币法线绕⾓动量旋转的⾓速度。
如果我们将硬币的法线⽮量N(t)在空中划过的区域看做⼀个球⾯，在这样的运动⽅式下，法线在上半球（正⾯向上）停留的时间是⼤于或等于在下半球（反⾯向上）停留的时间的。
最终可以算出，如果硬币的起始⾯为正⾯，那么硬币落回⼿上时正⾯向上的概率与ψ的关系是：
⽤图像表⽰就是
由此可以直观地看到，在硬币初始⾯为正⾯时，只有当ψ为直⾓，硬币落下时正⾯朝上的概率才是1/2，其余情况下都⼤于1/2。
⽽当ψ⼩于45°时，硬币虽然也在旋转，但实际上整个过程中，并没有翻转到另⼀⾯。因此，在这种情况下，不论硬币抛得有多⾼，最终落下来时依然是和抛出时保持相同的⼀⾯向上——这便是抛硬币魔术师所使⽤的⼿法。
⽽当ψ为0°时，硬币甚⾄可以没有竖直⽅向的翻转，完全直上直下。
事实上，这种运动⽅式在我们⽣活中⾮常常见，⽐较典型的，就是我们的地球。地球在⾃转的同时，⾚道平⾯的法线也在绕⼀个轴转动：
总结⼀下就是，因为很多⼈抛出的硬币在空中翻转时存在进动，导致在给定硬币初始⾯的情况下，会使得最终硬币落回⼿上时，正反⾯向上的概率不相等。
不过，由于⼤多数⼈抛硬币的时候，不会关注硬币的起始⾯。因此，在起始⾯随机的前提下，抛硬币的最终结果，正反⾯概率仍然是1:1（预印本论⽂中有证明过程）。
所以，以后如果和别⼈抛硬币打赌，你可以练⼀练上⾯教的抛硬币技巧来“作弊”；如果是别⼈抛硬币，那就让他不要⽤⼿接，让硬币直接掉地上，因为这会使硬币再弹起来，到空中再翻转⼏圈，使结果更加随机。