一个有趣的⼩问题：随机抽⼀组⼈，有50%的概率出现⾄少有两⼈⽣⽇在同⼀天的最少⼈数是多少呢？出⼈意料的是，这个问题的答案是23⼈。当我们思考这个在统计学中被称为“⽣⽇悖论”的问题时，许多⼈会凭直觉猜想答案为183⼈。因为⼀年有365或366天，⽽183正是⼀年中的⼀半天数。然⽽直觉在这⾥却开始失效。
统计学家吉姆·弗罗斯特（Jim Frost）表示：“我很喜欢研究此类的问题，因为这些问题背后往往反映出⼈们在概率问题上的不靠谱，甚⾄会因此做出错误的决策，或者得到错误的结论。⽽这也进⼀步表明数学对于我们的⽇常⽣活是多么重要。这些反直觉的问题往往很有意思。”他曾撰写过3本有关统计学的书籍，是美国质量协会的Statistics Digest的定期专栏作者。那么弗罗斯特是如何得到⽣⽇悖论问题的答案呢？
他先从⼏个假设开始展开思考，⾸先为了简化数学计算，闰年的情况被排除在外，其次假设所有的⽣⽇都为等概率出现。如果从2⼈的随机组合开始计算，第⼀个⼈与第⼆个⼈⽣⽇不同天的概率为364/365，那么⽣⽇同天的概率则为1-（364/365）≈0.27%。
接下来，当随机⼩组⼈数达到3⼈时，因为前2⼈⽣⽇已经占据了2个⽇期，那么3⼈⽣⽇都不同天的概率为363/365，他们⽣⽇同天的概率则为1-(364/365)x(363/365)≈0.82%。弗罗斯特指出，其实当随机⼩组中的⼈数增多，⾄少有两⼈⽣⽇同天的概率实际上是在增⼤，当⼈数达到23⼈时，两⼈⽣⽇同天的概率就会达到50.73%，⽽有57⼈时，则为99%的概率。
弗罗斯特还谈道：“我曾听说过有位⼤学统计学教授会在统计学课上就⽣⽇悖论问题与学⽣打20美元的赌，他⼏乎每次都会赢，每学期总有学⽣会接受这个赌注，最后输得很惨！好在他事后会把钱还给学⽣，并在之后教给他们这⼀问题的解法。”弗罗斯特认为⽣⽇悖论问题的答案之所以存在反直觉的地⽅，其⼀是因为⼈们会下意识计算某⼈某天过⽣⽇的概率，导致偏离了问题的核⼼，即实际上是否会有⼈过⽣⽇。
其⼆是因为⼈们会想当然地假定既然⼀年有365天，要想使得⾄少两⼈⽣⽇同天的概率达到50%，那么⼩组⼈数就应为182，182/365≈50%。然⽽关键的⼀点在于，⼈们忽视了这⼀事件的概率⼤⼩会随着样本数量的增加⽽增加，⽽且是以指数级速率增⻓。⽽⼈们对于指数增⻓的理解往往⼗分模糊。
弗罗斯特还指出，其实另⼀个与指数增⻓有关的问题也与此类似，假如现实⽣活中某项服务从第1天1分钱开始收费，第2天2分钱，第3天4分钱，8分钱，16分钱......如果以此类推持续收费30天，那么相信⼤多数⼈都不会觉得这是个好买卖，因为随着指数的增⻓，第30天的总收费竟会增⻓到1070万元，由此可⻅指数增⻓的威⼒之⼤。