一个比圆周率更神秘的常数

4.6692……：一个比圆周率更神秘的常数。40多年前，洛斯阿拉莫斯国家实验室的一位助手对一类数列的研究引起了轰动，因为它涉及了大自然的核心秘密：从这个数列中，可以发现大自然中一个基本的无量纲常数——4.6692……。这个常数像圆周率一样，充满了神秘的未知，也引领着科学的发展。

米切尔·费根鲍姆（Mitchell J. Feigenbaum）1944年出生在美国费城。

第二次世界大战结束后，费根鲍姆一家迁回纽约布鲁克林居住。他的父亲在纽约港务局工作，母亲在公立学校教书。在少年时代，费根鲍姆对电气工程师产生了朦胧的兴趣，因为他了解到电气工程师可以研究收音机，而且收入很高。因此，高中时的他选择了纽约市立大学的电气工程专业。不过，他上了大学才明白，自己渴望了解的收音机知识“只不过是物理学的一小部分”。

所以，1964年从纽约市立大学毕业后，费根鲍姆进入麻省理工学院攻读粒子物理学的博士学位。1970年，费根鲍姆获得物理学的博士学位，但这时，费根鲍姆对物理学的兴趣也有所转移，他开始喜欢上了数学——严格来说，他希望用当时还比较罕见的计算机来算一些数字。在他之前，已经有一位叫洛伦兹的物理学家利用计算机做天气预报，计算机编程也开始成为科学研究的手段。

洛伦兹首次在微分方程组中发现了“混沌现象”的代表——蝴蝶效应。

博士毕业后，费根鲍姆进入了康奈尔大学，但因为他很少发表论文，看起来物理研究做得很一般。1972年，费根鲍姆来到弗吉尼亚理工学院，一边教书一边思考自己感兴趣的数学问题。这时的他有点“非主流”——当时粒子物理学家的“主流”工作是，面对加速器对撞机不断生成的粒子数据，研究标准模型、解释强相互作用与弱相互作用的本质。1974年，他跳槽到洛斯阿拉莫斯国家实验室理论部给一个教授做助手。

为了理解费根鲍姆的发现，我们需要从数列的周期说起。最简单的周期性数列可以很任意，比如以下数列：1，2，1，2，1，2 ……。当然，还有一些数列的周期性则要复杂的多，也要有趣得多。费根鲍姆研究的数列也可以表现出周期性，而且随着参数b的不断增加，它表现出来的周期性会不断增加，会从二周期变成四周期，然后变成八周期……这个数列在数学或者物理学上被叫做“逻辑斯蒂映射”或者“抛物线映射”。

如果只发现了这些现象，是无法构成一篇完美、具有历史价值的论文的。但是，费根鲍姆的伟大之处在于，他开始考虑当参数b满足什么条件时，会出现倍周期的分叉、这些分叉点的参数b又有什么特点。终于，在1978年的《统计物理学》期刊上，费根鲍姆发表了他的重要发现。在费根鲍姆的发现中，出现倍周期分叉的相邻参数b之间可以定义出一个差值（相当于距离）。

费根鲍姆的重要发现如下：出现倍周期分叉的b的那些数值，距离之比接近一个常数，这个常数大概等于4.6692……。

费根鲍姆常数与混沌理论有着密切的联系。费根鲍姆常数在抛物线映射中发现的倍周期分叉，其实是另一种“混沌”的前奏（数列是一种离散动力系统，离散动力系统中也存在混沌）。由于费根鲍姆的常数大于1，也就是说倍周期分叉的“距离”之比是一个等比数列，而这个等比数列虽然有无限多项，但总和是有限的。

在参数b小于3.57时，这种以2为周期开始的倍周期分叉已经结束了。而当参数b大于3.57时，开始出现周期3开始的倍周期分叉——而根据李天岩与约克的定理：“周期3的出现预示着混沌的出现”，这意味着在抛物线映射中，也是可以出现混沌的。无论是洛伦兹发现的微分方程（连续动力系统）中的混沌，还是费根鲍姆发现的数列中的混沌，都标志着一项新的物理学革命。

混沌现象都是用计算机意外发现的，这也是电脑帮助人们做科学研究的典范。