闲暇时候，一次偶然的机会让我接触到了折纸几何（Origamics）这块新奇的数学领域，学习之余不禁感叹，原来真的有人把折纸这件事研究到了骨子里。如果把欧式几何的奠基之作《几何原本》比做是几何学的一处根基，那么折纸几何学就是这棵树上开出的一朵奇葩。
就像传统几何学对应了尺规作图 (ruler and compass construction) 一样，折纸几何学引导我们找到了另一种基础作图的方法——折纸作图。和它的名字一样，我们的工具就是一张白纸，大多时候是一张1×1的白纸，除此之外再无其它。与尺规作图比起来，折纸作图好像更加极致，干脆把尺子和圆规都扔了，甚至连笔也不给你，只留下一张白纸，你竟然还指望我作什么图出来？
然而正是这种“比原始更原始”的办法，解决了尺规作图也搞不定的数学问题。
众所周知，传统的尺规作图并不是万能的。在《初等几何的著名问题》一书中，数学家 F.Klein 就详细讲述了初等几何的三大难题：倍立方问题、三等分角问题和化圆为方问题。这些问题在传统的尺规作图中无法解决，但在折纸作图中却可以找到解决之道。
另一个有意思的话题是关于正多边形的。用传统尺规作图的办法，我们可以画出标准的正三角形，正方形，正五边形，正六边形，正八边形等等。根据证明，角度刁钻的正七边形是没有办法用尺规作图画出来的，因为它的边长涉及到常数 sin(π/7)，和π一样，这是一个需要用三次方根来表示的数。那么，折纸作图可以解决这一难题吗？答案是肯定的。虽然折纸作图可以表达出三次方根的数，但是要想得到完整的正七边形也绝非易事。
下面贴上折正七边形的步骤，勇士们可以自行尝试。这里还有简单的，其他正多边形的折法：正六边形的折法，正五边形的折法，正三角形的折法。你能给出它们的证明吗？看一段折纸gif放松一下~