如果有人问你：“三角形内角和等于多少？”你肯定会不假思索地告诉他：“180°！”假如那个人说不是180°，那么你可能会认为他无知。其实，“三角形内角和等于180°”只是欧几里得几何学中的一个定理。也就是说，在欧几里得几何学里，一个三角形的内角和等于180°，但如果跳出欧几里得几何学的范围，一个三角形的内角和就不一定等于180°！
举个栗子，地球的赤道、0度经线和90度经线相交构成一个“三角形”，这个“三角形”的三个角都应该是90°，它们的和就是270°！你感到奇怪吗？你知道除了欧几里得几何学外，还有其他几何学吗？这些几何学称为非欧几何学。
欧几里得几何指按照古希腊数学家欧几里得的《几何原本》构造的几何学。有时单指平面上的几何，即平面几何。数学老师课堂上教授的就是欧式几何。
它有以下几条简单的公理：1、任意两个点可以通过一条直线连接。2、任意线段能无限延长成一条直线。3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。4、所有直角都全等。5、若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角和，则这两条直线在这一边必定相交。这五条“显然”的公理是平面几何的基石，我们也是仰仗这些公理干掉了一道道几何题目。
但机智的你有没有发现第五公设（平行公设）和前面的四个公设比较起来，文字叙述冗长，而且不那么显而易见，有违数学的简洁美感呢？
一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达2000多年的关于“平行线理论”的讨论。到了十八世纪，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中走了另一条路。
他提出了一个和欧氏平行公理相矛盾的命题“过直线外一点，至少可以作两条直线和已知直线不相交”，用它来代替第五公设，然后与欧氏几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五公设。我们知道，这其实就是数学中的反证法。
1868年，意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》，证明非欧几何学可以在欧几里得空间的曲面（例如拟球曲面）上实现。他发现这里三角形的三个内角之和小于180°，这相当于给罗氏几何找到了一种有实际意义的模型。那个时代被誉为“数学王子”的高斯也发现了第五公设不能被证明，同时也涉足了非欧几何学的研究。
但高斯害怕这种理论会遭到当时教会力量的打击和迫害，不敢公开发表自己的研究成果，只是在书信中向朋友表示了自己的看法，并没有公开支持罗巴切夫斯基的新理论。
那么既然我们能把第五公里改成“过一点，有多条直线与已知直线平行”，是不是也可以改成“过一点，没有直线与已知直线平行”呢？于是，有个叫黎曼的聪明人，结合欧式几何的前四条公里加上“过一点，没有直线与已知直线平行”创建了自己的几何——黎曼几何。
比如，在一个球面上，过直线外一点所画的直线一定与已知直线相交。所以黎曼几何又称椭球几何。近代黎曼几何学在广义相对论里得到了重要的应用。物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。在广义相对论里，爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念，他认为时空是弯曲的，这恰恰是和黎曼几何学的背景相似。
正因为如此爱因斯坦在看到了罗巴切夫斯基和黎曼的发现之后，才会欣喜若狂，他终于找到了一种可以解释相对论的数学工具了。