⽜顿是如何发现⼆项级数的？
quantum magzine
中科院物理所
2022-12-21 11:56:42
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重新思考问题和寻找规律，指引⽜顿找到了曲线和⽆穷和之间的联系。Isaac Newton（艾萨克·⽜顿）并不以慷慨⼤⽅著称，并且他对对⼿的蔑视也堪称传奇。但他在⼀封给他的竞争对⼿Gottfried Leibniz（⼽特弗⾥德莱布尼茨）的信中—现在被称为后书信（Epistola Posterior），⽜顿表现出怀旧和近乎友好的态度。在信中，他讲述了他学⽣时代的⼀个故事，当时他刚刚开始学习数学。
他讲述了他是如何通过猜测和检查的过程，将曲线下的⾯积与⽆限和等同起来的重⼤发现。他在信中的推理⾮常迷⼈且易于理解，它让我想起了⼩孩⼦喜欢玩的看数字猜规律游戏。这⼀切都始于年轻的⽜顿阅读John Wallis（约翰·沃利斯）的《⽆限算术》（Arithmetica Infinitorum），这是⼀部17世纪数学的开创性著作。沃利斯使⽤了⼀种新颖的归纳⽅法来确定π的值，⽽⽜顿想设计类似的⽅法。
他从寻找可调宽度x的“圆形段”⾯积问题开始。曲线定义为:即单位圆在⽔平轴从0到x之上的区域。这⾥x可以是从0到1的任意数字，其中1是圆的半径。⽜顿很清楚单位圆的⾯积是π，所以当x = 1时，曲线下的⾯积为单位圆的四分之⼀，即π/4. 但对于其他x值，我们⼀⽆所知。如果⽜顿能找到⼀种⽅法来确定每个可能值x下的曲线⾯积，这可能会给他提供⼀种前所未有的逼近π的⽅法，这原本是他的宏⼤计划。
但在此过程中，他发现了更好的事情：⼀种⽤⽆限多由x的次幂构成的项，来替换复杂曲线的⽅法。
⽜顿的第⼀步是通过类⽐推理。他没有直接针对圆形线段的⾯积，⽽是研究了由以下曲线界定的类似线段的⾯积：⽜顿知道这些曲线在整数次幂下的⾯积（例如0/2=0, 2/2=1）会更容易计算，因为整数次幂在代数形式上会更简单。
让⽜顿的初步想法是希望能基于其他式⼦的表达式填补空⽩，进⽽猜到A?（即圆形部分未知区域）的表达式。有了这个规律，⽜顿现在掌握了⼀种写出A?, A?和A?的简单⽅法，甚⾄包括所有下标为偶数的A⽅法。
最后，通过带⼊x=1, ⽜顿可以获得π/4的⽆限和。这是⼀个重要的发现，但事实证明，有更好的⽅法可以通过⽆限和来近似π，正如⽜顿本⼈在最初尝试这种类型的⽆限和（现在称为幂级数）后很快发现的那样。最终他计算出圆周率的前 15 位数字。
⽜顿并没有执着于着四分之⼀圆。他考虑着⼀个更⼀般的形状，⼀个宽度为任意值x的圆形部分。这揭示了他的数列中系数的⼆项式特征——帕斯卡三⻆形中数字的意外出现及其概括——这让⽜顿看到了沃利斯和其他⼈错过的规律。
看到这些规律后，⽜顿获得了更⼴泛和更普遍地发展幂级数理论所需的洞察⼒。在他后来的⼯作中，⽜顿的幂级数给了他⼀把⽤于微积分的“瑞⼠军⼑”。有了它们，他可以做积分，求代数⽅程的根，计算正弦、余弦和对数的值。正如他所说，“在幂级数的帮助下，我⼏乎可以说，我可以分析解决所有问题。”