2018年，在密歇根大学的⼀次演讲开始⼏分钟后，Ian Tobasco拿起⼀张⼤纸，把它揉成⼀个看似混乱⽆序的球。他先把
它拿起来让观众看了看，⼜揉了⼏下，然后摊开。“我得到了⼤量的褶皱，现在问题来了，”他说，“是什么原因从⼀些更有序的图案模型中选择了这个图案模型？”然后，他拿起第⼆张⼤纸——这张纸被提前折叠成著名的三浦织平⾏四边形折纸图案，然后将其压平。他说他在这两张纸上⽤的⼒⼤致相同，但得到的结果却⼤不相同。三浦织图案被整⻬地划分成了⼀些⼏何区域；⽽皱巴巴的球上，则是⼀团乱糟糟的锯⻮状线。
建⽴上述的这种联系需要建⽴弹性模型的通⽤数学法则。Tobasco多年来⼀直在研究这个问题，即研究描述薄的弹性材料的“⽅程式”。⽤⼒戳⼀个⽓球时，⽓球会形成放射状皱纹的星爆图案；当你移开你的⼿指，⽓球会恢复原始形状再次变得光滑。挤压⼀个皱巴巴的纸球，当你松开它时它会膨胀（尽管它不会完全不皱）。
工程师和物理学家已经研究了这些模型在特定情况下呈现的结果，但对数学家来说，这些实际结果指向了⼀个更基本的问题：In general, what selects one pattern rather than another？
2021年1⽉，Tobasco发表了⼀篇论⽂，肯定地回答了这个问题——⾄少可以回答将光滑、弯曲、有弹性的⽚材压成平⾯的情况（这些条件为解决这个问题提供了⼀种明确的方法），皱巴巴的球是三浦织的随机⽆序版本。他的“⽅程式”预测了看似随机的褶皱是如何包含具有重复、可识别的“有序”域。上个⽉他⼜与⼈合作了⼀篇论⽂，展示了⼀种新的、以严谨的数学为基础的物理理论，该理论可以预测现实场景中的模型。
值得注意的是，Tobasco的⼯作表明，褶皱在许多⽅⾯可以被视为⼏何问题的解。“这是⼀个美妙的数学分析，”德国波恩⼤学豪斯多夫数学中⼼的Stefan Müller说。它⾸次优雅地阐述了这⼀普遍现象背后的数学规则——以及⼀种新的理解。
“数学在这⾥的作⽤并不是证明物理学家已经做出的猜想”，纽约⼤学库朗研究所的数学家、Tobasco的研究⽣院顾问Robert Kohn说，“⽽是对于以前我们没有系统理解的地⽅，提供⼀个数学理论。”发展褶皱理论和弹性理论是⼀个古⽼的⽬标。1894年，在《⾃然》杂志的⼀篇⽂章中，数学家George Greenhill指出了理论学家（“我们要思考什么？”）以及他们可以弄清楚的有效应⽤（“我们要做什么？
”）之间的区别。在19世纪和20世纪，科学家们在“我们要做什么”⽅⾯取得了很⼤进展，研究了与正在变形的特定物体的褶皱有关的问题。早期的例⼦包括：为航海船只锻造光滑、弯曲的⾦属板的问题，以及试图将⼭脉的形成与地壳的加热联系起来。最近，数学家和物理学家更加努⼒地将理论研究、实际观察与各种起皱情况、⼏何形状和材料联系起来。
“这已经持续了⼤约10年，我们⾸先进⾏实验，然后试图找到可以理解它们的理论”，⽜津⼤学的数学家Dominic Vella说。“直到最近，我们才开始有了正确的认识。”Ian Tobasco提出了⼀种理论，该理论以数学⽅式描述了曲⾯被压平时出现的各种褶皱。他们已经取得了⼀些令⼈兴奋的结果。2015年，麻省理⼯学院的机械⼯程师Pedro Reis描述了在瘪硅球上形成的⼏何图案的物理规律。
他的⼯作将这些褶皱和弹性材料内外层的厚度联系了起来。Reis还指出，褶皱可能会为设计新机械⾏为提供机会，⽽不是被视为缺点。然后在2017年，Vella带头领导分析了薄弹性薄膜在压⼒下的起皱不稳定性，并描述了褶皱数量是如何根据初始戳的深度和其他具体细节的变化规律。但这些发展仍然只解决了部分问题。为了更⼀般地理解褶皱是如何形成的，我们需要⼀种不同的⽅法。⽽Tobasco则是进⼀步推动该领域前进的⼈。
Tobasco年轻的时候，他认为⾃⼰会进⼊航空航天⼯程。他2011年毕业于密歇根⼤学，获得了该领域的学⼠学位，但那时他已经开始深⼊思考数学推理和物理系统。他获得了数学博⼠学位，所以他开玩笑地责怪现在雪城⼤学的物理学家Joey Paulsen让他⾛上了研究褶皱的道路。在Paulsen职业⽣涯的早期，当他研究不寻常材料的性质时，他学会了使⽤⼀种称为旋涂的技术，制造并分析超薄聚合物薄膜。
⾸先，他制造了⼀种特殊的液体材料，其中含有微量溶解的聚合物；然后他将材料放在旋转板上。⼤部分液体会蒸发，⽽聚合物在凝固之前会扩散成均匀的厚度。Paulsen在雪城⼤学拥有⾃⼰的实验室后，他学会了如何利⽤旋涂技术来制造弯曲的薄膜——⽐如超薄的⻳壳。有⼀天，他将其中⼀些弯曲的薄膜放在静⽌的⽔⾯上，并拍摄了它们是如何沉降在⽔⾯上的。“这纯粹是出于好奇”，他说。
这些照⽚在2017年与Paulsen的⼀次⾮正式会议上引起了Tobasco的注意。“这些现象表明你可以得到这些随机⽆序的褶皱图案——当你把这个实验做上两次时，你会得到两种不同的图案，”Tobasco说，他现在是芝加哥伊利诺伊⼤学的助理教授。“我想看看我是否可以从弹性中提出⼀些结合外壳形状的可推导⽅法来预测那些图案，⽽且模型不会因壳⽽异。”起皱图案是能量最少的“⽅案”。
也就是说，随着薄膜沉积在平坦的表⾯上，它会变形，直到找到需要最少能量来维持“褶皱”的⼀种排列，⽆论这个“褶皱”是否⽆序”，你可以通过图案显现时存储的能量来组织图案。”Tobasco说。在该指导原则的指引下，他总结了薄膜的⼀些特征，这些特征被证明是选择其图案模式的因素，包括⼀种称为⾼斯曲率（Gaussian curvature）的形状度量。具有正⾼斯曲率的表⾯会远离⾃身弯曲，就像球的外部⼀样。
相反，负弯曲的表⾯是⻢鞍形的，就像⼀⽚薯⽚：如果你朝⼀个⽅向⾛，你会往上⾛，但如果你朝另⼀个⽅向⾛，你就会往下⾛。Tobasco发现正⾼斯曲率区域产⽣⼀种有序和⽆序区域的排列，⽽负曲率区域产⽣其他类型。“具体的⼏何形状并不那么重要”，Vella说。“因为这真的只取决于⾼斯曲率的符号。”取决于被弯折的⽅式，⼀个物体可以有正的或是负的⾼斯曲率。
⽽当物体被压平时，⾼斯曲率可以决定出现的褶皱形状左为正⾼斯曲率，右为负⾼斯曲率压平物体后褶皱的形状。他们曾怀疑⾼斯曲率对起皱的重要性，但Vella表示，令他惊讶的是，褶皱区域竟然⾮常严重地依赖于符号。更重要的是，Tobasco的理论不仅仅适⽤于Paulsen的形式，也适⽤于更⼴泛的弹性材料。“这是⼀个很好的⼏何结构，可以显示褶皱出现的位置”，Vella说。“但理解它的来源真的很深刻，有点令⼈惊讶。
”Paulsen同意也这⼀点。“What Ian’s theory very beautifully does is to give you the whole pattern, all at once.”2018年初，Tobasco的理论已经基本完善了——但即使这⼀理论在纸上有效，他仍不能确定它在现实世界中是否准确。Tobasco联系了Paulsen，询问他是否有兴趣合作。
“有些东⻄⻢上就奏效了”，Paulsen，“Ian的⼀些预测，放在实验图⽚之上，我们⽴即可以看到它们如此的吻合。”在当年的⼯业和应⽤数学学会材料科学数学⽅⾯的会议上，Tobasco被介绍给宾夕法尼亚⼤学的物理学家Eleni Katifori，他正在探索受限壳中的褶皱图形问题并建⽴⼀个结果数据库。这是⼀个偶然的机会。“我们可以看到Ian的⼯作在模拟中可以解释的现象，”她说。这种匹配是不可思议的。
在他们的第⼀次讨论中，Tobasco的理论、Paulsen的实验图像和Katifori的模拟就描述了相同的现象。“即使在早期阶段当我们没有任何具体的东⻄时，我们也可以看到这种联系。”这种早期令⼈兴奋的实验结果很快引起了怀疑。这似乎好得令⼈难以置信。“他是⼀位数学家，他把所有这些东⻄都变成了⽆维度的，”Paulsen说，他指的是Tobasco关于曲率如何可以扩展到⼆维平⾯材料之外的想法。
“我们真的在看同⼀个系统吗？结果表明如此，但结果应当是如此吗？”在接下来的两年⾥，三位研究⼈员对细节进⾏了讨论，表明Tobasco的理论确实——准确地——预测了Paulsen在他的实验中看到的褶皱排列，以及Katifori在她的计算机模型中发现的褶皱的排列。8⽉25⽇，他们在Nature Physics上发表了⼀篇论⽂，展示了这三种⽅法是如何汇聚在相同的、直接的褶皱⼏何排列上的。
值得注意的是，他们发现这些图案属于整⻬的等腰三⻆形家族，这些三⻆形划分了有序和⽆序的领域。此外，结果不仅仅局限于在数学上抽象为薄到不能再薄的材料，并且同时也解决了厚度在不同数量级下的问题。他们的⼯作还为扩展该理论及其应⽤提供了机会。Katifori说，作为⼀名物理学家，她有兴趣利⽤这些预测来设计新材料。“我想了解如何设计表⾯，以便它们可以⾃动组织将起皱的图案，使其成为你想要的东⻄。
”另⼀个尚待解决的问题是该理论如何普遍地适⽤于不同类型的曲⾯。“这⼀理论的实践主要集中在 [⾼斯曲率] 为正或负的情况，但在很多情况下，曲⾯有些区域是正的，有些是负的，”Vella说。Paulsen同意这是⼀个令⼈兴奋的可能性，Tobasco说他正在这个领域积极⼯作，并考虑其他形状的⻉壳——⽐如那些有孔的⻉壳。但Paulsen表示，即使就⽬前⽽⾔，这个理论也是美丽⽽令⼈惊讶的。
“如果我给你⼀个壳和⼀个边界形状，以及Ian理论预测的这套简单规则，那么你可以拿⼀个指南针和尺⼦，基本上画出上⾯的褶皱”，他说，“你⼤可不必这样做，但这是可以做到的并且是⾮常令⼈震惊的。”