数学是纯粹的，不需要华丽的修饰，⼀道道简洁⼜从容的公式，就能表达出这种纯粹的逻辑之美。素数出现在我们的⽣活中，⼜体现在⽣物进化的历程中，更让⽆数的数学家为之呕⼼沥⾎、如痴如醉。徐晓平，中国科学院数学研究所博⼠⽣导师、研究员，提到数学，⼀般⼈都觉得太枯燥⽆味。但细细想、细细看，它⼜⽆处不在。今天我们从逻辑的⻆度，来领略数学的美。
什么是数学？它是科学的描述和研究事物规律的⽅法和⼯具，是⼈类逻辑思维⽂明的重要体现，更是逻辑思维⽂明的发展平台。我曾经问⼀个法国教授，数学有什么⽤？他告诉我，数学能使⼈更聪明，数学的价值不能单靠物质上是否有⽤来衡量。美国华尔街的⾦融机构，雇佣了⼤量的数学博⼠，看重的就是他们逻辑思维能⼒。素数之美，⾃然数1、2、3、4、5，出现在古代⼈类⽂明中有五千年以上的历史。
可是⼈们对⾃然数的认识，却是⼀个漫⻓发展的过程。⽐如说素数，也称为质数，是⼤于1的整数，它不能写成⼩于它的两个正整数之积，例如素数2、3、5、7、11、13、17、19等。素数最早出现在古代埃及分数中。有5张⼤饼平均分给8个⼈，怎么分？先看古埃及怎么分，将其中4张各切成两半，剩下张切成8块，每个⼈的份额是半块加1/8块。⽤现代数学表示，就是5/8等于1/2加1/8，它就是⼀个埃及素数。
它是古埃及⼈刺在⼀种不易腐烂的树叶上的分配⽅案，是考古学家发现的。如果⼀个数是有限个分⼦为⼀的分数之和，它被称为埃及分数。古埃及⼈在类似的分配⽅案中，意识到了素数的特性。对素数的研究的记载，最早出现在公元前300年的古希腊⼈欧⼏⾥得的《⼏何原本》中。欧⼏⾥得证明了有⽆穷多个素数，那么有没有更好的数素数⽅法呢？有，这就是所谓的素数定理。我们数数看，⼩于X的正整数⾥有多少个素数？
X⼩的时候能数，X⼤了很难数了。⽽素数定理告诉你，当X充分⼤的时候，这个值与X除于LnX的值相近。近看⼩于x的素数值看不出所以然来，远看它却表现出优美的规律，X除以lnX，这就是数学的美妙之处。这是18世纪末，由⾼斯和勒让德独⽴发现的，但是并不是由他们证明。他们的发现只是⼀种猜测。两个⼈试图证明过，但没有成功。
后来Chebyshev在1851年，Riemann在1859年尝试过并取得了进展，但是还是没有完全解决问题。最终，1896年，Hadamard和Poussin独⽴地完成了证明。也许你会问素数有什么⽤？动物学家发现某些蝉的演化⽤到了素数。这些⾍的⼀⽣，⼤多数时间以蛆的形式⽣活在地下，到化蛹出地洞需要7、13或17年，出来后翻⻜繁殖，最多⼏周就死亡了。为什么这些⾍要素数年后才出洞呢？
据说是为了减少被天敌追杀的概率。70年代，素数不仅是发明公钥密码算法的基础，还是现代许多数学领域⾥发展的根基。公式之美，上世纪初，印度的天才数学家Ramanujan，在剑桥⼤学⻅到Hardy之前，给Hardy写了⼀封信，内含他发现的等式。左边是个⽆穷的连分式，⽽右边却是个简洁的初等的表达式。Hardy看到后说：“它完全击溃了我，我之前⼀点也没有看过这样的东⻄，只有⼀流的数学家才能写出来！
”，这就是让⼈眼前⼀亮的数学。下⾯的例⼦跟我们的⽇常⽣活有关。⼀个⾃然数n的分割函数，是n个物体分配⽅案的个数，⽐如说n等于2有两种分法；n等于3有三种分法；等n等于4的时候就不是4种分法了，⽽是5种分法；n等于5，有7种分法。我们看⼀下数字，P（2）等于2，P（3）等于3，P（4）等于5，P（5）等于7，P（10）等于42。⼤家看到P（100）已经很⼤，⽽到P（200）那就更⼤。
看了这组数据以后，你可能会说增⻓太快了，没法数，但是有⼈会数。Hardy和Ramanujan在1918年，Uspensky在1920年独⽴证明“当n充分⼤时，P（n）与近似号右边的初等函数的值相近。同样，近看P（n）的数字跳跃的很厉害，看不出什么规律，远看它却以⼀个初等函数的规律显示出来，这个结果是猜不出来的。
他们是⽤了数论⾥⾯的圆法，经过复杂的计算得到的，他们做出了别⼈难以想象的结果，分割函数也常出现在量⼦物理中。数学的“残缺美”听说过“残缺美”这个词吧？我们不得不想到，维纳斯⼥神的断臂雕像。如果不是断臂，它只是普通⻄⽅⼥⼈的雕像，谁也记不住，可是⼀断臂，让看过的⼈终⽣难忘。那么数学上有没有这样的事情呢？
1637年费尔⻢在阅读丢番图《算术》的拉丁⽂译本，写到：“不可能把⼀个正整数的三次⽅，分成两个正整数的三次⽅之和；不可能把⼀个数的四次⽅，写成两个正整数的四次⽅之和；对正整数的更⾼次幂也类似。我发现了⼀个奇妙的证明，但这个空格太⼩了，写不下。”这就是所谓的费尔⻢⼤定理。⽤公式写就是，对⼤于2的整数n，不存在正整数abc，使得a的n次幂加b的n次幂等于c的n次幂。
其实费尔⻢⾃⼰只证明了n等于4的情形。欧拉证明了n等于3的情形。1995年，由当时在普林斯顿⼤学的Andrew wiles教授所证明。他现在在英国⽜津⼤学。由于没有看到费尔⻢留下的证明，⼈们尝试证明它的过程中发展了代数数论、椭圆曲线理论、Hecke代数理论等。如果费尔⻢真的证明了并把证明留下来，那么这些理论的发展很可能延缓，所以这就是数学的“残缺美”。还有没有解决的数学难题吗？有。
对我们中国来讲，最熟悉的就是哥德巴赫猜测。⼀个⼤于2的偶数都可以写成两个素数之和，这就是所谓的“1加1”问题。例如4等于2加2，6等于3加3，8等于3加5，10等于3加7，也等于5加5，12等于5加7等等，⼈们⽤计算机验证了所有⼩于等于4乘10的18次⽅的偶数，结论都对，可是到现在为⽌，⼈们仍然⽆法证明它。
1973年，我国著名的数学家陈景润证明，⼀个⼤于2的偶数可以写成两个素数之和，或⼀个素数加上两个素数之积。这就解决了所谓的1加2问题，这是该⽅向迄今为⽌最好的结果。除此之外，还有⼀个问题叫做孪⽣素数猜测，存在⽆穷多个素数p，使得p+2也是素数，这是个千古之谜。到2013年，华⼈数学家张益唐证明了存在⽆穷多个素数，使得从p到p加7000万这个区间内也含素数，这是数论领域⾥⾯⼀项⾰命性的⼯作。
在这之前⼈们不知道是否有这样的有限区间存在，在这之后格林和陶哲轩等⼈⽤张益唐的⽅法把7000万改到200，取得了很⼤的进展，但是离最后的结果2还相差很远，算法上还需要改进。我们常看到星星，可能没注意到有⼀个多体问题。物理学家和数学家⼀直试图找出相互有引⼒的n个物体的运动轨迹，n等于2时，已经被约翰·伯努利在17世纪解决；当n⼤于2时，却⾄今没有解决。
2007年我在解n个物体在⼀条直线上的特殊模型时，发现了具有⾼斯超⼏何函数3个基本性质的多元超⼏何函数。在1798年的博⼠论⽂中，⾼斯引进了著名的单变元超⼏何函数，它的重要性就是由这三个基本性质导出的。流体我们都熟悉，Navier-Stokes⽅程就是流体⼒学中基本⽅程。
对任意给定⼀个光滑的初始条件，是否有光滑的整体解，这是数学界⼀个⻓期未解决的数学问题，也称为千禧问题，如果谁能解决就能得到⼀百万美元的奖⾦。未解之难题，未登之⾼峰2009年我利⽤该⽅程的代数特点和运动变化，得到了⼀些⼈反映特殊物理现象的奇异解，如漩涡。当然还有许多数学问题有待⼈探索。也许你会问数学家为什么努⼒解决这些问题？
因为这些问题是逻辑思维的标杆，解决它们就代表⼈类逻辑思维能⼒达到了新的⾼度，就像登⼭爱好者攀登⾼峰⼀样。1993年我去⻄班⽛参加⼀个代数会议，在会议间歇期间，我问⼀个来⾃美国威斯康星⼤学的资深教授，为什么在他报告的Novikov代数分类中，要假设特定的条件。他说没有这些条件我做不出来。回到单位我很好奇地⾃问，没有这些条件的障碍在哪？在办公室想，在家也想，都没想出个所以然。
但在某⼀次登⼭的过程中，我⼜想了想，突然灵光⼀闪，想到了扫除这些障碍的⽅法。当时我觉得⽐别⼈中彩票还⾼兴，数学家⼀旦解决⻓期没解决的问题，这种喜悦绝对超过挣到⼀百万块钱。