对于概率和统计的不确定性，我们始终有足够的直觉。虽然如此，这依旧远远不够，多数人对概率的理解其实并不充分。要知道这是一个数学家稍有闪失就会错的一塌胡涂的领域，原因很多时候正是我们的直觉，而正确结论却与之相悖。我们不妨来看看几个概率统计中的奇妙结论，这也正是概率统计这门学科的魅力所在。
在单位圆内随机地取一条弦，其长超过该圆内接等边三角形的边长√3的概率等于多少？
这个问题看似简单，结果却让人大跌眼镜。我们可以用三个完全正确的方法，得到三个完全不同的答案！其实这三种说法都是正确的。但是它们的结果之所以不同，只是因为它们各自对问题的理解不同，采用了不同的等可能性假定。这三种假设对应着三种不同的求解方法。需要说的是，随意指责哪个假设是不合理的有所不妥，因为它们都是有依据的。
不妥的地方在问题本身，这个问题问的并不严谨，没有对问题中的“基本空间”进行定义，导致在解题人求解时只能够依靠自己的理解补充解题所需条件。如此一来，一问三解就不足为怪了。上述问题被称为“贝特朗奇论”，是数学家贝特朗在上世纪初提出来的，用于批判当时尚不严谨的概率论。也正是在贝特朗工作的推动下，此后概率论的研究开始向公理化方向发展。
据说，1881年天文学家西蒙•纽康伯发现对数表以1起首的数所在的那几页较其他页破烂，由此他怀疑以1开头的数字就是比其他数多，大量统计之后发现果真如此。这个故事的真实性已无从考究，不过它可能是本福特法则第一次被注意到。这个法则最经典和广泛的应用是验证统计数据真伪。如果一个包含了几千个数字的样本居然完全不服从本福特法则，那么你可要小心了，这个样本很有可能是伪造的。
而除此之外，本福特法则在会计、股票甚至是选举领域也有着重要的应用。
你是广交朋友的闪亮交际明星还是人际贫瘠的宅男？也许这个问题刺痛了许多不善交际的技术男的心：总能看到某个朋友每天应酬繁多、应接不暇，而自己的手机却常年不响一声。实际上几乎每个人都会觉得朋友的朋友总是比自己的多。换句话说就是自己的朋友数，几乎总是小于自己所有朋友的朋友数的平均值。
这个看起来有些不可思议的结论可以这样解释：有一百个人，他们都能有一个拥有一百个朋友的朋友，但是只有一个人，能有一个只有一个朋友的朋友。这句话算不上严谨，而且很绕口，但是实际上它传达了这样的意思：在计算“朋友的朋友”这个过程中，一个人拥有越多朋友则越容易被重复计算进来。