所以，到底为什么不能除以零？
曾经，如果你问苹果⼿机上的Siri，“零除以零等于多少”，它会说：“假如你有0块饼⼲，要分给0个朋友，每个⼈能分到⼏块？你看，这个问题没有任何意义吧？甜饼怪会难过，因为没有饼⼲吃，⽽你也会难过，因为你⼀个朋友都没有。”抛开这个伤⼈的回答不论（有朋友谁会跟你聊天啊喂！），除以零确实是个困扰很多⼈的问题。⼗除以⼆等于五，六除以三等于⼆，⼀除以零是多少？⼩学数学就会告诉你，答案是不能除。
但是为什么？零也是个数字，它到底哪⾥特殊了？
⼩学篇
⼩学算术⾥，这个问题很简单。那时我们把除法定义成“把⼀个东⻄分成⼏份”，分成⼀⼆三四五六七份都很容易想象，但是你要怎么把10个饼⼲分给0个⼈呢？想象不出来嘛！所以不能除。敏锐的同学可能会想到，要是0个饼⼲分给0个⼈的话，本来⽆⼀物，好像就没关系了。但既然⽆物也⽆⼈，每个⼈分得多少都是可能的呀，根本⽆法给出⼀个单⼀确定的数值。
这结论没错，但这都是凭直觉⽽得到的东⻄。你想象不出来，不⼀定意味着它没有。远古时代的数学是建⽴在直觉上的，买菜是够⽤了，但要进⼀步发展，就必须要有定义和证明——所以，我们上了中学。
初中篇
现在我们开始接触最最基本的代数学——也就是解⽅程。我们发现，除法和乘法互为逆运算，所以问1 / 0 = ?就等于是解⽅程0 * x = 1。好了，按照定义，0乘以任何数都是0，不可能等于1，所以满⾜x的数字不存在，所以不能除。同样，如果问0 / 0 = ?就等于是解⽅程0 * x = 0。同理，任何数字都可以满⾜x，所以也不能除——⽆法确定⼀个单⼀的答案。
⾼中篇
等到接触了基本的形式逻辑，我们⼜会发现另⼀种证明⽅式：反证法。⼀堆真的表述，不能推出⼀个假的表述，所以如果我们⽤“能够正常地除以零”加上别的⼀堆真表述，最后推出假的来，那只能说明“除以零”这件事情不成⽴了。所以，已知0 * 1 = 0，0 * 2 = 0，推出0 * 1 = 0 * 2，两边同时除以零，得到( 0 / 0 ) * 1 = ( 0 / 0 ) * 2，化简得到1 = 2。
这显然是错的啦。那么，问题解决了吧！其实还没有。想想另⼀个问题：-1的平⽅根是多少？你可能会说，-1不能开平⽅根，因为所有数的平⽅都是⾮负的。但是这说的是实数，我要是增加⼀个定义呢？定义i^2=-1，这就创造出了虚数，于是-1也能开平⽅根了。那么，为何不能定义⼀个“新”的数，让1 / 0也等于它，并为这个数设⽴⼀套运算法则呢？这就得去⼤学⾥回答了。
⼤⼀篇
刚学微积分课程就会⽴刻接触到∞这个符号。咦，这不就是“⽆限”嘛。我们都学了极限的概念了，那么我令b趋向于0，然后把a/b的极限定义为⽆穷，不⾏吗？这就⽴刻遇到⼀个问题，它的左极限和右极限不⼀样啊。b是从负的那头靠近0，还是正的那头？这⼀个是越来越负，⼀个是越来越正，碰不到⼀起去。这样的极限是没法定义的。
因此，微积分课程⾥会反复说，虽然⽤到了∞这个符号，但是这只是代表⼀个趋势，绝对不是⼀个真正的数，不可参与运算。
⼤⼆篇
那么吸取教训，我不⽤现成符号了，我直接定义1 / 0 = w，w是个“⽆限⼤”的数，不碰什么极限，你总没话说了吧！然⽽，定义不是说来就来的，你虽然可以随便定义东⻄，但定义完了如果和现有的其他系统⽭盾，那就不能⽤，或者很不好⽤。⽽我们⾯对w⽴刻就遇到了问题。
⾸先，w要怎么放⼊基本的加减乘除体系⾥？1 + w等于多少？w - w等于多少？如果你造了⼀个数，却连加减乘除都不能做，那就不是很有⽤对吧。⽐如直觉上，1 + w应该等于w，它都⽆限了嘛！⽽w - w则等于0，⾃⼰减⾃⼰嘛！但这样⽴刻会和加法⾥极其重要的“结合律”产⽣⽭盾：1 + ( w - w ) = 1 + 0 = 1，可是( 1 + w ) - w = w - w = 0。
结合律是加法⾥⾮常基本的东⻄，为了⼀个w，连结合律都不要了，这成本有点⼤——不光是结合律本身，多少数学定理证明过程中不⾃觉都⽤了它，扔了它就都得重来，建⽴新体系。新体系不是不能建，但是费⼼费⼒⼜（暂时）⽆卵⽤，所以⼤家还是在⽼实⽤旧的——⽽旧的⾥⾯，为了保住结合律，就不能这么玩。
⼤三篇
你可能会提出反对：有那么多的定义⽅式，我都试过？要是没试过，我怎么知道不会某⼀天冒出来⼀个能够⾃洽的办法？
“新发现推翻旧结论”这种事情，在⽣物⾥可以有，化学⾥可以有，物理⾥可以有，唯独数学⾥没有。因为数学建⽴在逻辑上，个案有例外，逻辑没有例外。当然我们的数学还没有完成最终公理化，还要⾯对哥德尔的幽灵，但⾄少在这个例⼦⾥，如果w是⼀个真正的数，那它就违反了⼀些⾮常重要的公理，⽽这些公理的地位可是⾮常之深。
⽐如有⼀组基本的公理叫“⽪亚诺公理”，其中有⼀条说，每⼀个确定的⾃然数都有⼀个确定的后继，后继也是⾃然数；另⼀条说，⾃然数b=c，当且仅当b的后继=c的后继。那w是谁的后继呢——或者说，谁加上1能得到w呢？显然所有其他的数字都已经有了⾃⼰的后继，w在其中没有位置，没有任何其他的数加上1能成为w。那么就只能是1+w=w了，可那就直接和第⼆句话⽭盾。⽽没有⽪亚诺公理，整个⾃然数的体系都不能成⽴。
这⾥假定w是⾃然数。其他情况会略微复杂⼀些，但⽆论如何，类似的事情发⽣在w的各种定义⾥。如果你想把w当成⼀个数，那就没法和我们现有的实数兼容。所以我们在⼏乎所有场合下都只能宣布，不能除以0。
⼤四以上篇
既然我们之前说了个“⼏乎”，那就是有例外的——在个别奇葩场合下，可以。⽐如有⼀个东⻄叫做“复⽆穷”，它是扩充复平⾯上的⼀个点，真的是有定义的⼀个点。
在这个特殊的规则下你可以写下1 / 0 = ∞这样⼀个表达式。这么做的原因就说来话⻓了，但它不是平常意义上的运算——⽐如你不能把0拿回来，不能写1 = 0 * ∞。另外，“⽆穷”⼆字在⼀些别的场合下是可以当成⼀个“东⻄”去对待的。⽐如当你衡量⼀个集合的⼤⼩的时候，它可以是⽆穷⼤的。
但这就有很多种不同的⽆穷⼤了——⾃然数是⽆穷多的，有理数是⽆穷多的，实数也是⽆穷多的，可是奇数和偶数和正整数和负整数和⾃然数和有理数都⼀样多，⽽实数却⽐它们都多！同样是⽆穷，有的⽆穷⽐别的⽆穷更⽆穷。但这就是另⼀个话题了，打住。
总结篇
所以，当我们说不能除以零的时候，理由……竟然出乎意料地充⾜。有许多直觉在数学⾥被推翻了，但是这⼀条没有。我们有种种数学上的⽅式去证明它⽆法成⽴的原因，虽然也许听起来不如Siri的回答那么⼼暖（或者⼼寒），但这些理性的愉悦也是⼀种美丽，对吧？