传奇数学家张益唐近⽇公布了他关于朗道-⻄格尔零点猜想的论⽂，并在11⽉5⽇⼭东⼤学的在线讲座中介绍了这⼀⼯作。张益唐还将于11⽉8⽇在北京⼤学做线上学术报告。张益唐这⼀成果的意义⼗分重⼤，如果证明⽆误的话，将是解析数论领域⾥程碑式的⼯作。
张益唐证明了朗道-⻄格尔零点猜想的⼀个变形。这⼀成果在解析数论中的意义，⽐张益唐之前在孪⽣素数猜想上的突破还要重⼤。
许多读者⾮常关⼼的⼀个问题是，如果张益唐的论⽂正确的话，他到底有没有证明朗道-⻄格尔零点猜想？对此，笔者的看法是，这不重要。数论是⼀⻔研究整数性质的数学分⽀。朗道-⻄格尔零点猜想本身并不是数论问题，⽽是⼀个复变函数问题，是对狄利克雷L函数可能的零点的⼤⼩的估计。数论学家们之所以会关⼼这个问题，是为了它在数论中的⼴泛应⽤。
在研究⼀类解析数论问题时，如果狄利克雷L函数的⼀个零点⾮常接近1，对于证明就会有很⼤影响。朗道-⻄格尔零点猜想的本质就是说L函数的实零点距离1不那么近。具体在量化距离远近的时候，朗道-⻄格尔采⽤的标准是，猜想和1之间的距离⼩于这个数的实零点（即⻄格尔零点）不存在。那么现在张益唐就相当于⽤另外⼀种⽅式来量化这个距离，他宣称和1之间的距离⼩于的实零点不存在。
这个结论⽐原来版本的朗道-⻄格尔零点猜想要弱，但对于数论中的应⽤已经⾜够了。即便以后有⼈能解决原来版本的朗道-⻄格尔零点猜想，也不会给数论学家带来更多实质上的帮助。
在张益唐新公布的论⽂第⼀章中，他宣布了两个定理，分别是对于L(1,χ)的估计以及对⻄格尔零点的估计：可能存在的⻄格尔零点不⼤于.其中c1和c2都是跟D⽆关的，可以计算出来的正实数。
“可以计算出来的”意思就是可以顺着证明过程，⼀步⼀步地把这个常数因⼦具体算出来。有的定理只会告诉你存在这么⼀个常数，但是你没法根据证明过程算出这个常数到底是多少。对于朗道-⻄格尔猜想的数论应⽤来说，知道这个常数的具体数值是⾮常关键的。
上⾯的指数-2022和-2024都是可以改进的数字，就像他的孪⽣素数猜想论⽂中的七千万⼀样，只是为了计算⽅便⽽选取出来的。
当然选取成⽬前的数字，明显是在致敬今年的年份。当年在张益唐的孪⽣素数猜想论⽂发表后，数论专家们发起了⼀个Polymath项⽬，将张益唐⽂中的七千万最终改进为246.如果张益唐现在的⼯作得到证实，可以想象同样会有很多专家来改进他的估计。这⾥的改进有两⽅⾯，⼀⽅⾯是要具体算出两个常数c1和c2的值，另⼀⽅⾯是改进其中的指数，争取把2022和2024缩⼩。
比起孪⽣素数猜想的情形，这些改进的意义要⼤得多，因为要想把张益唐的⼯作应⽤到数论问题中，肯定是所得到的估计越强越好。在国外reddit、mathoverflow等⽹站上，许多⽹友对张益唐的⼯作发表了评论。⼀位⽹友说：“我确信他为了能在2023年之前把论⽂写出来⽽争分夺秒地⼯作。”下⾯回复：“哦，张益唐和他有趣的常数。如果这篇⽂章正确，⼤家会很兴奋地看到另外⼀个改进常数的狂热polymath项⽬。
”此外还有别的⼀些犀利吐槽：“如果这篇论⽂不能在今年底之前发表，我会很不爽。”“如果他⼯作得更努⼒，就能在去年写出这篇⽂章，得到⼀个更好的指数-2021。”“突发新闻：Polymath项⽬为了改进张益唐的指数⽽发明时间机器。”
不过，也有⼀些⽹友发表了专业性的评论。其中，最引⼈注⽬的⼀个评论是⼀位叫Stopple的⽹友发表的。如果读者近期关注张益唐的相关新闻，可能对这个名字不感陌⽣。此君就是张益唐的同事，解析数论专家Jeffrey Stopple。他曾说：“如果张益唐能够证明朗道-⻄格尔零点猜想，就相当于⼀个⼈被闪电击中两次。”这句话最近被新闻⼴泛引⽤，以说明张益唐的⼯作是多么令⼈震惊。
Stopple指出，张益唐的成果能够⽤来研究欧拉和⾼斯遗留下来的⼀个关于“⽅便数”（idoneal number）的问题，把它化为有限次计算。这⼀问题在⽂献中并没有公认的名字，我们姑且称之为“⽅便数猜想”。在张益唐的⼯作之后，这⼀猜想或许很快就会成为定理。
那么，这是⼀个什么样的猜想呢？要介绍“⽅便数猜想”，需要追溯到17世纪的法国数学家费⻢。
费⻢考虑过这样⼀个问题：哪些⾃然数可以表示成两个平⽅数的和？例如1、2、4、5等数能表示成平⽅和：1=0+1, 2=1+1, 4=0+4, 5=1+4……⽽3、6、7等数就不能表示成平⽅和。费⻢完全解决了这个问题。对于素数这种特殊情况，费⻢的结论是，⼀个奇素数是平⽅和当且仅当它是4k+1的形式，其中k是⼀个整数。
进⼀步可以问，如果⼀个数能表示成平⽅和，那么有多少种⽅式？例如25可以表示成0+25，也可以表示成9+16；65可以表示成1+64，也可以表示成16+49。这个问题也得到了圆满解决，特别地，4k+1型的素数恰好只有⼀种⽅式表示成平⽅和。
在费⻢之后⼀百多年，欧拉进⼀步研究了这个问题。他证明了，如果⼀个⼤于1的奇数m只有⼀种⽅式表示成平⽅和x2+y2，并且在这唯⼀的⼀种⽅式中，x和y互素，那么m就是⼀个素数。（“x和y互素”即x和y仅有1这⼀个公约数。这个条件很重要，例如45只有⼀种平⽅和表示9+36，但它不是素数。）
这⼀定理可以⽤来判断⼀个4k+1型的数是不是素数，⽐直接根据定义来判断更便捷。举个例⼦，如果要判断97是不是素数，我们先写出⼩于它⼀半的所有平⽅数：0, 1, 4, 9, 16, 25, 36.然后再从97中分别减去这些数，得到：97, 96, 93, 88, 81, 72, 61.这其中恰好只有⼀个平⽅数81，所以97只有唯⼀⼀种平⽅和表示42+92.我们⼜能看出4和9互素，所以97是⼀个素数。
但是4k-1型的数就不能使⽤这个判别法。为了能够判断这些数是否是素数，欧拉考虑了把⾃然数表示成x2+2y2或者x2+3y2的形式，并证明了相应结论。例如他证明了⼀个奇素数能表示成x2+2y2的形式当且仅当它是8k+1或者8k+3的形式。更进⼀步，如果⼀个⼤于1的奇数m只有⼀种⽅式表示成x2+2y2，并且在这唯⼀的⼀种⽅式中，x和y互素，那么m就是⼀个素数。
受这些结论的启发，欧拉提出了“⽅便数”（拉丁语numeri idonei，英语idoneal number或者convenient number）这个概念。⼀个正整数n被称为⽅便数，如果它满⾜以下性质：如果⼀个⼤于1并且跟n互素的奇数m只有⼀种⽅式表示成x2+ny2的形式，并且在这唯⼀的⼀种⽅式中，x和y互素，那么m就是⼀个素数。欧拉的⼯作表明，1、2、3都是⽅便数。
他随后发现了⼀个简单的⽅法，可以判断⼀个给定的正整数是否是⽅便数。利⽤这⼀判别法，他研究了⼀万以内的所有正整数，发现其中只有65个⽅便数，罗列如下：
可以观察到，在1848之后就不再出现新的⽅便数了。于是欧拉在1778年猜测，以上这些就是全部的⽅便数。这就是我们所说的“⽅便数猜想”。1798年，⾼斯写出了他的名著《算术研究》。在这本书中，⾼斯系统地研究了整系数⼆次型，在这⼀理论体系下赋予了⽅便数新的含义。这涉及到代数数论⾥的⼀些基本概念，限于篇幅，我们就不作说明了。⾼斯同样猜测1848就是最⼤的⽅便数。（欧拉的猜想当时尚未发表。）
在⾼斯之后，很多数学家都研究过⽅便数。1973年，Peter Weinberger利⽤⽇本数学家竜沢周雄在朗道-⻄格尔零点猜想⽅⾯的进展，证明了除去已知的65个⽅便数以外，最多只有两个⽅便数。如果有两个的话，其中⼀个⼀定是另⼀个的四倍，所以本质上是同⼀种情况。（Weinberger后来成为⼀名计算机科学家，是AWK程序设计语⾔的作者之⼀。）
根据Stopple的评论，由张益唐的⼯作能够证明，存在⼀个（很⼤的）⾃然数N，使得⼤于N的⾃然数都不是⽅便数。这样⼀来，为了证明⽅便数猜想，只需要对不超过N的⾃然数逐⼀验证便可。⾄于N究竟是多少，取决于张益唐定理1中的具体估计。在忽略常数因⼦的前提下，Stopple算出N可以取0.75×1025734.这当然是⼀个天⽂数字，但毕竟还是⼀个有限的数，并⾮⽆穷⼤。
如果能够⼤幅改进张益唐的估计，或许可以把N缩⼩到⼀个适合⽤计算机加以处理的范围，从⽽证明⽅便数猜想。张益唐本⼈曾说，在他的突破之后，“⼀百个猜想都变成定理”。或许这个有244年历史的⽅便数猜想就是其中之⼀。当然，所有⼀切都建⽴在张益唐论⽂是正确的基础之上。希望解析数论领域的专家们能够早⽇完成对张益唐论⽂的检验，使得⼀切悬念得到破解。