2021年4月18日是爱因斯坦（Albert Einstein，1879.3.14—1955.4.18）逝世66周年纪念日。爱因斯坦是历史上最伟大的科学家之一，关于他有着许多真假难辨的故事。其中一个广为流传的说法称，爱因斯坦是左撇子。然而，现有的大量照片和影像表明，爱因斯坦更习惯使用右手。
1921年，爱因斯坦在维也纳，图源：维基百科。
爱因斯坦在黑板上写下广义相对论中的一个公式，图源：Holden Luntz Gallery。爱因斯坦拉小提琴，图源：theconversation.com。以上三张爱因斯坦的照片中，都包含了一些文字，据此可以看出照片并未经过翻转。正如我们从日常经验中所知，如果把照片翻转一下，左右就会颠倒。在今年的春节晚会里，有一个小品《一波三折》，其中就有这样的情节：然而，大自然不是照片。
在自然界中，要实现左右颠倒，并没有那么容易。
上帝对左右是有偏好的。（本文中的“上帝”指的是爱因斯坦所说的“斯宾诺莎的那个在存在事物的有秩序的和谐中显现出来的上帝”，即自然规律。）我们今天要讲的，就是几何学上的左右颠倒，以及大自然对左右的偏爱。
在亚瑟·克拉克（Arthur Clarke，1917—2008）1950年发表的短篇小说《技术故障》中，一位不幸的工程师在一次实验事故中身体出现了左右颠倒。左手变成右手，右手变成左手。在这个故事里，导致左右颠倒的原因是在四维空间里的翻转。
他停顿片刻，等这些话渗进他们的脑子里，没有人提出疑义，他便继续讲下去：“现在，如果我把一个三角形拿起来，在空中翻个个儿再放下，他们俩就不再是镜面对称了，而是成为了完全一致——像这样。”他演示了一遍，“这种方法似乎非常简单，确实如此。但是它却给我们上了至关重要的一课。桌上的三角形是限制在二维空间的平面图形，要是一个变成另一个的镜像，我必须拿起它，在第三维中旋转。明白我的意思吗？”
他环视一下众人。一两个董事脸上透出第一线领悟的曙光，迟疑着点了点头。“同样道理，为了让一个三维物体，例如一个人，变成他的相对物即镜像，就得把他在第四维空间中翻转。重复一下——第四维空间。”
怎么理解这一现象呢？我们得从坐标系的左右讲起。首先看一条水平直线。我们在上面放一个朝右的箭头。如果箭头只限制在这条直线里移动，那么它永远是指向右方。但如果我们在平面上把箭头旋转180°，它就会变成指向左方。在二维平面的笛卡尔坐标系中，x轴和y轴垂直。我们通常让x轴指向右方，y轴指向上方。这就是“右手坐标系”或者简称“右手系”，初中数学课里学到过。
但也可以让x轴指向左方，y轴指向上方，这就是“左手坐标系”或者简称“左手系”。左手系可以看作是右手系的镜像。实际运用时，我们经常会让坐标系旋转，这样x轴不一定指向右方，y轴也不一定指向上方。这种情况下可以用“右手定则”来定义右手系和左手系：让右手大拇指垂直于平面，其余四指从x轴旋转90°到y轴，如果这一过程中大拇指朝向观察者所在的一侧，那么这个坐标系就是右手系。反之则是左手系。
可以看出，如果开始的坐标系是右手系，把x轴和y轴互换，就得到左手系。这是因为我们四指旋转的方向是从x轴到y轴，x轴和y轴互换后四指旋转的方向发生改变。另一种把右手系变成左手系的方法是把x轴和y轴中任意一个的方向改成与原来相反的方向。但如果同时改变两个轴的指向，得到的还是右手系。
我们可以把右手坐标系想象成两个互相垂直的箭头。如果只是限制在平面内部平移或者旋转，右手坐标系永远都还是右手坐标系，不会变成左手坐标系。但如果在三维空间里绕着y轴旋转180°，右手系就会变成左手系。为了理解这个过程，我们可以看到，y轴在这个过程中是不改变的。旋转180°后，仅仅是x轴的指向变成了原来相反的方向。
正如我们前面所说，因为x轴的方向变成与原来相反，所以得到左手系。在三维空间里也有左手系和右手系之分。我们伸出右手的大拇指、食指、中指，让它们互相垂直。让x轴的方向跟大拇指重合，y轴的方向跟食指重合，如果这时z轴的方向跟中指重合，那么这个坐标系就是右手坐标系。高中数学课本里采用的就是右手系。同样地，可以用左手的三个指头来定义左手坐标系。
另外一种判断右手系的办法是右手定则：除大拇指外的右手四指从x轴旋转90°到y轴，如果这一过程中大拇指的指向是z轴的方向，那么就是右手系。类似于平面坐标系，把任何两个坐标轴互换后，右手系变成左手系。同样地，把x轴、y轴、z轴中任意一个的方向改成与原来相反的方向，那么就得到左手系。但如果同时改变两个轴的指向，得到的还是右手系。读者可以想一想，同时改变三个轴的指向会得到左手系还是右手系呢？
对于三维空间里的右手系来说，如果只限制在三维空间里平移或者旋转，右手系永远是右手系；但如果能够在四维空间里旋转180°，右手系就会变成左手系。我们可以这样看：在四维空间中，多了一个新的坐标轴w轴。把三维的坐标系围绕着xy平面旋转180°，x轴和y轴在这个过程中都不改变，仅仅是z轴在zw平面里旋转到了跟原来相反的方向。
在克拉克小说《技术故障》里，因为实验事故，工程师的身体在四维空间里被翻转了，左手系和右手系互换，自然就出现左右颠倒的现象。
科幻小说里，还有另外一种左右颠倒的场景。上世纪九十年代，笔者是《科幻世界》的忠实读者。当时笔者非常喜欢绿杨老师写的“鲁文基探案”系列，其中主角是鲁文基教授和他的助手梅丽，每篇故事都是用科学知识侦破一个小小的案件。这一系列的首篇是《鸟巢里的笑声》，里面的核心科学内容是一位宇航员帕凯，到宇宙深处旅行一圈回来后，身体出现了左右颠倒。
梅丽说：“警察在追捕一个人，又和你一模一样，左边也有颗金牙。你还有什么说的？”“那不是我！我金牙在右边。”帕凯把手指伸进嘴里一摸，咦了一声，金牙的确在左边！帕凯自己也糊涂了。但是，教授也开始糊涂起来，证件上明明白白写着在右边，怎么跑到左边去了呢？愣了半天才说：“小梅，他也许不是逃犯。他在宇宙空间绕行过一圈，的确可以出现这种左手系和右手系的相互转换。”
这一科学设定不是绿杨老师独创的，笔者看过不止一次。跟克拉克的设定不同，这里没有出现四维空间。那么，这一设定是可能的吗？从数学上来说，旅行一圈后左右颠倒是可能的。为了说明这一点，最简单的例子就是著名的莫比乌斯带。这一几何对象是由德国数学家莫比乌斯（August Ferdinand Möbius，1790—1868）发现的。
把一条长方形纸带的两端粘起来，有两种办法。最自然的粘法得到的曲面叫做平环（annulus）。把纸带粘成平环，把一端拧半圈再粘起来，得到的曲面就是莫比乌斯带。通常科普文章里说到莫比乌斯带，都会强调它只有一面。其实莫比乌斯带还有一个更本质的特点：假设有一个二维生物生活在莫比乌斯带上，我们就可以看到，在沿着莫比乌斯带旅行一圈后，它的左右发生了颠倒。
仔细想象一下这个二维生物的视角，我们会发现《技术故障》里有一个细节比《鸟巢里的笑声》更准确。那就是，从这些左右颠倒的人的角度来看，并不是自己的身体发生了左右颠倒，而是除了自己以外的整个世界发生了左右颠倒。“错的不是我，是这个世界！”
事实上，我们再来看看这个在莫比乌斯带上旅行一圈的二维生物。对于它来说，在旅行过程中并没有一个时刻发生了什么特别的事情让左右颠倒。它的右手一直是右手，不会突然变成左手。当它回到起始点时，它看到的是一个左右颠倒的世界。如果一个曲面上有一条闭合的路径，使得沿着这条路径走一圈后，二维生物的左右会发生颠倒，那么这个曲面就是一个不可定向曲面。莫比乌斯带是最简单的不可定向曲面。
克莱因瓶是另外一个著名的不可定向曲面，它是德国数学家克莱因（Felix Klein，1849—1925）发现的。设想取一个纸筒，把纸筒两端粘起来，最自然的粘法可以得到一个形如轮胎表面的曲面，数学里叫做环面（torus）。但我们还可以用另外一种方式粘起来，得到克莱因瓶。
三维空间里的克莱因瓶一定会有自相交，但我们可以把克莱因瓶放到高维空间里，使得它没有自相交。有不可定向的曲面，就有可定向的曲面。球面、环面等等曲面就是可定向的曲面。在可定向曲面里，二维生物无论怎么走，回到出发点后都不会发生左右颠倒。
流形是现代数学里的一个基本概念。包括直线和圆周在内的曲线都是一维流形。它们的特点是，把其上任何一点的局部放大后，都跟直线非常接近。曲面则是二维流形。把任何一点的局部放大后，都跟平面非常接近。举个例子，地球的表面是球面，是二维流形。从日常生活的尺度来看，大地是平坦的。所以地平说至今仍有很多人相信。
三维流形则可以想象为不同形状的宇宙。不可定向的三维流形是这样的一种宇宙，旅行者在其中沿着某条路径走一圈后会发生左右颠倒。最简单的不可定向三维流形是莫比乌斯带和一条线段的笛卡尔积。这个流形的边界是克莱因瓶，可以看作是把克莱因瓶“填满”，所以被称作实心克莱因瓶。
对于不可定向流形来说，“左”和“右”只在局部上有意义，在整体上没有意义。怎么理解这句话呢？还是回到《鸟巢里的笑声》的场景。如果宇航员只生活在地球附近，比如说永远不离开太阳系，那么左右就不会颠倒。可是一旦他沿着某一条路径到宇宙深处旅行一圈回来，左右就会发生颠倒。在这个设定的宇宙里，“左”和“右”就没有什么不同。
如果我们把右手系的两个坐标轴绕着莫比乌斯带走一圈，就得到左手系。
类似于莫比乌斯带，在三维不可定向流形里沿着某条路径走一圈后右手系会变成左手系。正如我们前面所说，在不可定向流形里，左手系和右手系只在局部上有意义，在整体上没有意义。可定向流形就不一样了，在整体的意义上仍然有左手系和右手系。如果我们取定其中一类坐标系，我们就取定了这个流形的一个“定向”。每一个可定向流形都有两种不同的定向，对应着左手系和右手系。
那么，科幻小说里这样的场景真的可能发生吗？在四维空间翻转导致左右颠倒，或者在宇宙中旅行一圈后左右颠倒？我们已经说过，数学上这是可能的。但是，物理上这或许不会发生，因为对于物理定律来说，左和右是有区别的。
在自然界中有四种基本力：电磁力、弱相互作用、强相互作用、万有引力。1956年，李政道（1926—）和杨振宁（1922—）提出了弱相互作用中的宇称不守恒定律，其大致含义是，在弱相互作用里左和右是不一样的。另一种表述是，一个真实的物理过程，它在镜子里的像可以不符合物理定律。
宇称不守恒定律是对物理学家固有观念的重大冲击，以至于泡利（Wolfgang Pauli，1900—1958）说：“我不相信上帝是一个弱的左撇子。”（据说杨振宁幼年是左撇子，后来被其母纠正。）1957年，吴健雄（1912—1997）等人用实验证实了这一定律，李政道和杨振宁因此获得当年的诺贝尔物理学奖。
宇称不守恒定律告诉我们，左与右是不对等的，所以左右颠倒很可能不会在现实中发生。克拉克小说《技术故障》里，宇宙空间是高维的，可以通过在四维空间中的翻转来实现左右颠倒。在现代物理的弦理论里，宇宙时空正是高维的。除了通常的四维时空外，还有额外维度。但是，弦理论尚未被实验证实。即便依照弦理论，这些额外维度也是蜷缩在非常小的尺度里，不足以让人通过这些额外维度来翻转。
如果宇宙的形状是一个不可定向流形，那么沿着某条路径走一圈后右手系会变成左手系。这样一来，左和右就没有区别了，似乎跟宇称不守恒定律矛盾。然而，这个论证或许并不正确，因为这条路径可能非常之长，或许以百亿光年计，甚至会超过可观测宇宙的直径。爱因斯坦的相对论告诉我们，任何信号的传播速度都不能超过光速。
如果这条路径太长，以至于光沿着它走一圈需要的时间超过宇宙的年龄，那么宇称不守恒定律或许并不会带来矛盾，也不会有一个宇航员能够完成导致左右颠倒的旅程。当然这一观点很大程度上只是笔者的外行看法，希望有方家指正。
不可定向的宇宙被称为“爱丽丝宇宙”。这个名字来源于数学家查尔斯·道奇森（Charles Dodgson，1800—1868）以刘易斯·卡罗尔（Lewis Carroll）为笔名所著的儿童文学作品《爱丽丝镜中奇遇记》。爱丽丝宇宙仅仅是一个理论上的假设，没有任何观测证据表明宇宙有非平凡的拓扑，更不必说宇宙不可定向。至于爱丽丝宇宙是否有可能存在，这是一个尚存争议的问题。我们或许永远也无法得知答案。
描述弱相互作用的物理学理论是规范群为SU(2)的杨-米尔斯规范场论。上世纪八十年代，英国数学家唐纳森（Simon Donaldson，1957—）用杨-米尔斯规范场论来研究可定向四维流形的微分拓扑，获得了一系列令人惊异的结果。在唐纳森理论里，对每一个可定向四维流形都要预先选好一个定向，然后才能加以研究。如果把定向改变，流形在唐纳森理论下的性质也会有剧烈的变化。
换句话说，在唐纳森理论里面，左和右也是不一样的。
如果左右真的颠倒，不光是物理上会有宇称不守恒的问题，化学上也会出麻烦。许多化学分子有“手性”，也就是说，这个分子跟自己的镜像不能通过转动而重合，就像人的左手和右手不能通过转动而重合一样。如果两个分子互为镜像，它们就被称为“对映异构体”。对于有手性的分子来说，它与它的对映异构体在自然界中起到的作用并不一定相同。
例如地球上生物的氨基酸分子都是左旋（L，拉丁语laevus）的，而糖分子都是右旋（D，拉丁语dexter）的。在实验室里可以合成出右旋氨基酸和左旋糖分子，但它们无法被生物体利用。
如果真有一个宇航员在宇宙中旅行一圈后左右颠倒，那么他就无法吸收地球上食物中的营养物质。在克拉克小说《技术故障》里，工程师的左右颠倒以后，他就再也不能吸收食物里的某些分子。这导致了随后进一步的悲剧。而这一点在《鸟巢里的笑声》一文中被忽略了。
所以，在数学上，左右颠倒是可以实现的。然而，由于物理的原因，实际中多半不会发生。最后，化学告诉我们，即便发生了，也不太可能正常地生活。在左和右里，大自然偏爱其中之一。或许，正如泡利所说，上帝是一个左撇子。