同学们小时候或许听过这样一则寓言：一位教书先生分别给他的三位得意门生若干铜板，让他们去集市购物，看谁买的东西能够把整个书房装满，大师兄买了干柴，只装了书房的一个角落；二师兄买了棉花，只够小半个书房；小师弟回来却只买了一根蜡烛，正当师兄们准备嘲笑他时，小师弟将蜡烛点燃，烛光瞬间照亮的整个书房，众师兄惊呆。小师弟用他的睿智教会了我们“烛光可以照亮整个房间”这个知识点。
不过等等，爱思考的同学可能认为寓言中有BUG：书房里总要有桌子椅子什么的吧，因为这些物品的遮挡，总会有光照不到的隐秘角落，因此小师弟并没有圆满完成先生的任务。不过问题不大，我们不妨下次再讲这个寓言时补充点细节：书房里的一切物体的表面，包括墙壁，屋顶，地面，桌椅，书...... 都是能反光的镜面，并且光线经反射没有任何衰减。
这样一来，如果还有同学质疑小师弟任务的完成度，那不得不说这位同学真是具有杠精（误）数学家的潜质啊！因为早在 1950 年，数学家恩斯特·施特劳斯 (Ernst Straus) 提出过两个类似的平面版本的照明问题 (Illumination Problem) : 1、一个由反射面围成的封闭区域，是否总能被区域内的任意放置的点光源完全照亮？
2、一个由反射面围成的封闭区域，是否总能在区域内找到一点，在此放置点光源能将该区域完全照亮？猜想的反例不难看出，问题2是问题1的升级。直觉上判断，一个点光源向四面八方发射光线，经过边界反射面无限次反射，应该不可能存在光线照射不到的隐蔽角落吧。然而数学有趣的地方也恰恰在于它反直觉的存在。
1958 年，年轻的数学物理学家罗杰·彭罗斯 (Roger Penrose)，没错，就是那个 2020 年诺贝尔物理学奖的获得者，利用椭圆的一个特殊的光学性质，非常巧妙的构造出了一个封闭区域，直接否定掉了这两个猜想，因为在他构造的区域内，无论在哪一点放置光源，都不能将整个区域完全照亮！这个神奇的 "彭罗斯房间" (Penrose's room) 长下图这样。
当然，仅看这个图并不能打消直觉带给我们的疑惑，后面我还会解释光源不能照亮全部区域的原因，不过这要从前面提到的椭圆的一个特殊光学性质讲起。学过圆锥曲线的同学们，应该知道椭圆有一个重要的光学性质：一条经过焦点的光线经椭圆反射后一定过另一个焦点，因为反射点与俩焦点张成的角被反射点处的法线平分。现在问题是，如果光线没有经过焦点，那么经椭圆反射的光线，还有什么规律？
我们来看下面这个图: 可以看到，入射光线 (绿线) 经椭圆最初的若干次反射看似并没有什么规律，不过随着反射次数的增多，我们惊奇的发现反射线似乎总限定在特定的区域内，而这个区域外则没有反射线经过。这些反射线包络出了类似椭圆和双曲线的轮廓，而每条反射线都和该轮廓相切。为了进一步揭示规律，我们再来改变入射光线的角度看看。
现在规律更明晰了，我们断言：当入射光线与连接椭圆两个焦点的线段不相交时，反射线也不与相交，并且所有反射线 (包括初始光线) 都与某个以 为焦点的椭圆相切。当入射光线与连接椭圆两个焦点的线段相交时，反射线也与相交，并且所有反射线 (包括初始光线) 都与某个以 为焦点的双曲线相切。下面我们来证明椭圆的这两个光学性质。如图， 为椭圆的两个焦点，光线 与 不相交，并经椭圆反射至 。
分别作 关于 的对称点 。连接 ，连接 交 于 ，连接 交 于 ，连接 。我们知道 经椭圆反射后必与 重合，而 也在 点处反射至 ，故 ， ，又有 ， ， ，即 关于入射线和反射线的对称点与 距离为定值！又有 ， ，由椭圆第一定义知 在以 为焦点， 为半长轴长的椭圆上，又有 ， 分别为椭圆在 处的切线， 与 不相交。证毕。
对于入射光线与 相交的情况，证明方法几乎完全相同，这里就不再赘述了，下面是包含辅助线的图，感兴趣的同学可以自行补充证明过程。(提示： 为 关于入射光线 和反射光线 的对称点， ) 有了上面的知识，现在我们再来回看彭罗斯房间，就容易理解为什么光源放置在任意一点都无法将整个房间照亮了。房间的秘密就在于，上下两个弧形边界是半个椭圆，红色顶点的位置是椭圆的焦点。
如果我们把房间分成上下对称的两 个区域，当光源在下半区时，光源发出的光线以及反射线在进入上半区时，必然与上半区焦点连线相交。根据我们证明的性质，经过上半区椭圆面反射的光线也都与其焦点连线相交，故无论如何也无法照射到上半区两侧蘑菇形状遮挡物的背后。光源在上半区时同理。
如果我们限制照明问题的封闭区域边界只能由线段连接，也就是说区域为平面多边形 (可以不是凸的)，并且如果有光线恰好照射在在多边形顶点处，则不会被反射，这样的话猜想的两个命题还有答案吗？这个问题沉寂了40多年，直到1995年，托卡斯基（Tokarsky）构造出了第一个问题的反例。这是一个26边型的区域，如下图所示，若在A点处放置点光源，那么是没有光线可以照亮B点的！
不过如果把点光源放置在其他地方，则仍可以照亮整片多边形区域，也就是说并没有否定第二个问题。那么，一个平面多边型内部一定存在可以照亮整个多边形的点吗？这个看似简单的问题目前却并没有人知道答案，聪明的你能想到解决方法吗？