数学与其他学科最大的不同就在于，命题需要证明。数千年来数学正因为此发展进步，人类一步步攀上智慧的高峰。而且，在作者看来，“数学证明的标准不同于其他任何人类活动领域中的标准。”那么，数学定理的证明到底是什么呢？本文给出了四个基本原则，阐述涉及
无论在科学中还是日常生活中当实验反复肯定某个原则之后我们就倾向于接受它的真实性如果肯定的案例数量足够大我们就说有了一个“被证实的法则”但是对于数学家来说几个案例的结果尽管可能给出一些提示但绝不是证明下面给出这种现象的一个例子考虑猜想把一个正整数代入多项式f(n)=n^7-28*n^6+322*n^5-1960*n^4+6769* n ^3 -13132 * n ^ 2 +13069 * n -5040我们总可以得到原来的正整数用符号表示就是断言：对于任意正整数都有这是真的吗显然我们可以代入几个正奇数的和是一个完全平方我们从左下角的一个方块开始三个有阴影的方块包围着它形成一个四边形它的边长分别是然后再设法生成一个矛盾这是一个战略上的飞跃我们假设的四边形如图所示画出虚线所示的对角线它把这个四边形分成两个三角形并设是这条对角线的长度第章已经说明过欧几里得证明了三角形的任意一条边小于其他两条边的和因此在△中我们知道同样在中有把这两个不等式结合起来得到根据上面的不等式得到这是不可能的我们最初所做的存在这种特殊的四条边的出现顺序是还有其他方法放置这四条同样的推理也导出一个矛盾此时是我们最终证明了否定基于矛盾的推论是一个非常好的逻辑策略假设我们要毁灭自己的目标但是最后避开了灾难哈代把它描述为它是最好的武器之一象棋手也许要牺牲一个小卒或者其他一枚棋子但是牺牲的是整个游戏问题还需要人类吗大约世纪年代有一种令人不安的情绪在整个蔓延令人们感到震惊的不是这个结论而是他们的技术计算机完成了最艰难的部分阿佩尔与哈肯处理这个问题的方法是把所有平面地图分成某些类型然后分别分析每一种类型遗憾的是一共有上百种类型需要检查每一种情况都给高速带来大量的工作最后宣告这个猜测是真的即所有可能的情况都可以用四种颜色着色这是真的吗说句公道话当时一种不安的情绪在整个蔓延甚至是最健康乐观的人也不可能活那么长时间总之谁愿意花这个工夫呢如果程序出现了错误怎么办如果功率突增使得跳过关键步骤怎么办总之能够相信机器大脑能给我们真理吗直到今天也没有明确的答案尽管随着变得更加普遍也许对它们的出现会感到稍舒服些但是我们得承认这个观点也许是偏见的因为的支持者本身是人