经过半个世纪的酝酿，牛顿与莱布尼兹终于完成了微积分创立过程中最后也是最关键的一步。而微积分的发展从这里才刚开始。在第二次数学危机中，来自贝克莱主教的质疑使得数学家们想尽办法维护自己的尊严，而柯西正是这场分析严格化运动中的奠基者，也是真正有影响的先驱。
相比于牛顿、莱布尼兹创立的微积分而言，柯西的微积分原理有什么不同？与前人的微积分原理相比，柯西有什么继承，又有什么进一步的发展呢？让我们一起寻找答案。
提到柯西，相信学过高等数学后，我们对他的名字都不陌生，随口就能说出很多以他的名字命名的数学定理或公式：柯西判别法、柯西不等式、柯西方程……柯西在数学史上是受到一些争议的。其中，主要原因是他对青年学者的创造的忽视。作为法国科学院的审稿人之一，柯西弄丢了阿贝尔的重要论文，这使得阿贝尔的贡献没有及时得到认可，而阿贝尔也在贫病交加中去世。
柯西的确是一个数学天才，这一点也不可否认。与其他很多伟大的数学家一样，从小他就对数学产生了浓厚的热爱。在少年时，柯西的数学才华得到了大数学家拉格朗日、拉普拉斯的赏识，并被预言在数学上定成大器。然而，因为出生在法国大革命时期的缘故，艰苦的环境使得他长得瘦小、发育不全。拉格朗日担心这个瘦弱的孩子被累坏，所以给老柯西提出建议：在他17岁之前，不要让他摸（高等）数学书。
接下来，我们将在柯西的众多学术成果中拿出他在分析严格化中的工作着重谈一谈。在微积分历史上，柯西处于早期开拓者和现代数学家之间的位置。前辈们创立了一个充满直觉与质朴的领域，而来自贝克莱主教的质疑使得数学家们想尽办法维护自己的尊严。在柯西之前，牛顿和莱布尼茨依据他们各自的思想独立地创建了微积分原理。
牛顿建立微积分的过程中有两类思想。第一类思想建立在无限小量的基础之上，在这一类思想中又分了两种，一种是建立在运动学的背景之上，把时间瞬作为基本的无限小量，其他变量的瞬都是时间瞬的某一倍数；而第二种则摆脱了运动学的背景，把任何变量的瞬看作是不依赖于时间的静止的无限小量，具有不可分量的色彩。
莱布尼茨建立微积分原理主要经历了两个阶段。第一个阶段主要是关于特征三角形的研究，莱布尼茨从特征三角形的研究中主要意识到了求曲线的切线和求曲线下的面积这两类问题与坐标的差值变成无限小时的关系，并且意识到二者的互逆关系。第二个阶段是把序列的求差求和运算推广到微积分运算当中，这依赖于莱布尼茨定义的微分。
在牛顿与莱布尼茨创建微积分之后，英国和欧洲大陆分别沿着他们的路线进一步发展微积分。英国数学家以牛顿的流数术为基础，主要代表数学家是泰勒。由于几何传统与民族保守情绪，英国数学后期处于停滞状态。欧洲大陆数学家以莱布尼茨的微分为基础，沿用莱布尼茨的记号：表求和，表求差，发展出了众多的微积分方法，主要代表数学家是欧拉。
1821年，柯西采用了以牛顿的微积分原理为共同思想，以莱布尼茨的符号为表现形式的微积分发展路线，并与后来的数学家黎曼、魏尔斯特拉斯、达布和勒贝格一道建立了现行微积分体系。柯西关于极限的定义是这样的：当同一变量逐次所取的值无限趋向于一个固定的值，最终使它的值与该定值要多小就多小，那么最后这个定值就称为所有其他值的极限。
可以看到在柯西的微积分原理中，几乎所有的基本概念都是依赖于极限定义的，其体系的结构和现在的微积分结构基本相同，形成了现代微积分原理的雏形。在牛顿的首末比微积分原理中，由于几何与运动学背景，流量可视为曲线下的面积，即柯西微积分原理中的定积分；由流量可得到流数，同样知道了流数也可反推流量，这样流量也可视为反流数，即柯西微积分原理中的原函数。
在这里，柯西是通过这一特殊情形，才能将（2）式化为这一形式的，那么对于一般的函数，便不能化为d这种形式。参考文献：[1] 李文林著. 数学史概论 第3版. 北京：高等教育出版社, 2011.02.
[2] WilliamDunham著. 微积分的历程：从牛顿到勒贝格. 北京：人民邮电出版社, 2010.08.
[3] M·克莱因著. 古今数学思想. 上海：上海科学技术出版社，2009.10.
[4] 李文林主编. 数学珍宝 历史文献精选. 北京：科学出版社, 1998.10.