霸王龙，一直以来都是古生物学中备受关注的焦点之一。它多次出现在学术期刊、古生物画廊、《侏罗纪》系列电影中，几乎是恐龙形象的终极代言。成年霸王龙体长约12米，体重7吨左右，是地球上有史以来最大的陆地捕食者之一。关于它的各个方面，从巨大的体型到强大的颚部咬合力，都曾激发了科学家和恐龙迷们的无尽好奇。
在1993年上映的电影《侏罗纪公园》中，有一段霸王龙追逐吉普车的刺激场景。
这场追逐引发了一个令人着迷的问题：如果遇上一只真正的霸王龙，吉普车会有逃脱的机会吗？一只成年霸王龙究竟能跑多快？这个问题似乎没有一个确定的答案，因为没有亲眼见过真正的恐龙。恐龙给我们留下的只有它们的骨架和足迹。多年来，科学家们一直努力通过各种方法和计算模型来估算霸王龙的速度。然而，不同的研究给出了不同的结论，使得这个问题变得更加扑朔迷离。
本文将采用量纲分析的方法，建立动物步行和奔跑速度与腿长以及步幅之间的关系。基于这一关系，我们将对霸王龙的步行和奔跑速度进行估算。
动物的步行和奔跑速度通常可以表示为步幅和步频的乘积。尽管我们可以根据恐龙的骨架和足迹估算出它们的腿长和步幅，但却无法直接获取它们的步频信息。因此，我们难以直接估算霸王龙的速度。
然而，不同动物在步和奔跑时可能会表现出一定的相似性，我们可以通过这种相似性推测霸王龙步行和奔跑速度。研究人员收集了沙鼠、狗、成年男子和骆驼的腿长，以及它们以不同速度运动时的步幅长度，详细数据见附录。图5给出了双足行走和四足行走动物的步幅和腿长定义。步幅又称复步长或跨步长，是指行走时同一只足的足跟两次着地所行进的距离。而腿长则是指在正常站立时髋关节距离地面的高度。
为了确定动物的速度与步幅长度之间的关系，我们绘制了四种动物的步幅长度和相应速度的数据散点图，如图6所示。图中的横坐标表示步幅长度，纵坐标表示速度。从图中可以看出，对于每种动物，其数据点都分布在一条直线附近。为了更加确定这一关系，我们对每种动物的数据进行了线性拟合，拟合结果分别为：相应的拟合直线已经绘制在图6中，拟合效果良好。
但这种线性模型也存在一些问题：当步幅非常小（0）的时候，以上四个公式都会给出负的速度。这表明，对于某种特定的动物，当步幅不太小时，速度随着步幅的增加而呈线性增长。尽管数据表明每种动物的速度与其步幅之间存在线性关系，但这并不足以用来估计恐龙的速度。原因在于每种动物的速度与步幅之间的线性关系并不相同，我们无法直接应用于恐龙。目前为止，我们还没有考虑到动物的腿长因素。
我们知道，速度可以表示为步幅与步频的乘积。而步频很可能与腿长有关。这是因为步行和奔跑时，腿的前后摆动类似于单摆运动，而单摆的频率与摆长和重力加速度相关。因此，动物的速度不仅与步幅相关，还可能与腿长和重力加速度有关。然而，具体的关系很难从现有数据中获得。这种情况下，我们可以借助量纲分析的方法来构建这些相关因素之间的函数关系。
量纲分析是一种常见于物理学和工程学领域的方法，用于分析物理现象中各个物理量之间的关系。它主要是利用物理量的量纲所提供的信息，根据量纲齐次法则构建数学模型。量纲齐次法则要求在任何数学模型或物理规律的数学表达式中，每一个加项的量纲必须一致，或者每一个加项都是无量纲的。
量纲分析的主要内容就是著名的π定理：如果一个物理问题中包含n个变量，而基本量的数目为k，那么必然存在n-k个无量纲变量，并且它们之间存在着确定的函数关系。
量纲分析首先要确定问题中涉及的基本物理量。本问题涉及的基本物理量为动物的速度v、步幅s、腿长l和重力加速度g。根据上文的分析，速度v可以表示成如下函数：其次，我们需要确定这些物理量的量纲，并导出与问题相关的无量纲量。
如果用L表示长度的量纲，T表示时间的量纲，则当前问题所涉及的4个物理量的量纲分别为：[v]=LT-1，[s]=[l]=L，[g]=LT-2。在这些物理量中，只有2个独立量纲，可以取v和g为基本量，并将它们作为单位系统。速度v的量纲可以表示为这两个基本量的量纲的幂次组合：即容易解得α=β=1/2。同样，步幅s的量纲也可以表示为这两个基本量的量纲的幂次组合：显然有α=1，β=0。
由此，可确定出与问题相关的两个无量纲量：我们称π1和π2分别为无量纲速度和无量纲步幅。根据π定理，上述两个无量纲量之间形成确定的函数关系。因此，问题的模型可表示为以下无量纲关系：上式表明无量纲量π1和π2存在函数关系，但具体的函数形式需要通过数据来确定。
为了确定函数f的具体形式，我们定义x=π2，y=π1，然后把四种动物的数据转化成二维直角坐标系中的点，并将它们绘制在图8中。
令人惊讶的是，所有这些数据点都分布在一条直线附近。因此，我们假设无量纲步幅π2和无量纲速度π1满足线性关系：其中a和b为常数。利用图8中的数据点拟合可得a=0.72、b=-0.67，相应的拟合直线已经绘制在图8中。拟合相关系数（优度）R高达0.9514，表明拟合效果良好。
由此，我们可以得到速度与步幅和腿长的关系：将图4中所示的成年霸王龙参数（腿长l=1.93m，步幅s=2.7或5.65m）代入上式，可以计算出霸王龙的步行和奔跑速度：也就是说，霸王龙的步行和奔跑速度范围在1.49到6.30m/s之间，相当于5.38到22.70km/h。而此前科学家估计该霸王龙步行和奔跑的速度范围为6.8到29.2km/h，这与我们的模型结果非常接近。
尽管上文中的线性模型对数据提供了不错的描述和预测，但仔细分析会发现模型仍然存在一些不太令人满意之处。例如，当π2<0.67/0.72=0.93时，线性模型会产生负的速度值。但我们知道当步幅s>0时，速度v也应该大于0；当步幅s=0时，速度v也应该等于0。此外，观察图8中的数据，π2<2的几个数据点都在拟合直线的上方。
这些都表明无量纲步幅π2和无量纲速度π1之间的关系可能不是线性的，而且这条曲线应该是微微向下凹的。满足条件的最简单模型当属幂函数：其中a和b为常数。实际上，幂函数模型也是量纲分析中最常用的模型。通过对图9中的数据点进行拟合，可得参数值a=0.34、b=1.34，相应的拟合曲线已经绘制在图9中。拟合优度R高达0.9529。从拟合的相关系数以及数据点在图中的分布情况来看，都可以得出拟合效果非常好。
由此，我们可以得到速度与步幅和腿长的关系：将图4中所示的霸王龙参数（l=1.93m，s=2.7或5.65m）代入上述幂函数模型，可以得到霸王龙步行和奔跑的速度：这表明，霸王龙的步行和奔跑速度范围在2.31到6.19m/s之间，相当于8.32到22.30km/h。与之前线性模型得出的结果（5.38到22.70km/h）相比，可以看到速度的上限相差不大，但速度的下限存在明显差异。
本文探讨了霸王龙步行和奔跑速度的估算问题。尽管我们可以通过恐龙的骨架和足迹来估算它们的腿长和步幅，但直接估算霸王龙的速度却十分困难。通过分析不同动物的步行和奔跑特征，本文确定了影响动物速度的物理量：步幅、腿长和重力加速度。在此基础上，应用量纲分析，本文得到了两个无量纲量，即无量纲步幅和无量纲速度，并确定了它们之间存在某种函数关系。通过对不同动物的数据分析，本文发现这种函数关系很可能是线性关系。
通过对数据的线性拟合，本文得到了线性模型。应用该模型，本文估算出了霸王龙的步行和奔跑速度速度范围在5.4km/h到22.7km/h之间。然而，考虑到线性模型在无量纲步幅较小时会给出错误的结果，本文又提出了幂函数模型，并对霸王龙的速度重新进行了估算，结果显示其速度范围在8.3km/h到22.3km/h之间。两种模型的结果都表明，霸王龙奔跑的速度大约为22.5km/h（相当于6.25m/s）。
在动物界，这个速度算比较慢的了，甚至比不上人类的奔跑速度，更不用说追赶狗了。总体而言，两种模型对于霸王龙的速度估算相差不大，但考虑到实际情况，本文认为幂函数模型更为合理。本文基于量纲分析得到的模型具有一般性，可用于估算各种未知动物的速度，包括各种恐龙。