彼得·萨纳克（Peter Sarnak, 1953-），美国数学家，英国皇家学会院士，美国科学院院士，专长数论，是最顶级数学期刊Annals of Mathematics的前任主编。多年来我已经指导了不少博士研究生，这也许使我有资格以一个有经验导师的身份来写一些忠告。
每当我遇到一个出色的学生（我非常幸运我能够有这样的学生），我所能给出的指导仅仅是告诉他，比如可以在某个区域内挖出黄金，或者给出一些含糊不清的建议。一旦他们行动起来，发挥其智慧与才能，结果他们没有发现黄金，但却找到了钻石（当然事后我忍不住会说“我告诉过你会这样”）。
在这种情况下，和大多数的情形一样，一个讨论班导师的作用就更像一个教练：只是不断加以鼓励，并确信所指导的学生正在做的是一些有意思的问题，且清楚其可以采用的工具是什么。这么多年下来，我发现自己经常重复说的某些评论与建议对于学生来说还是很有用的。以下所列是其中的一部分。（1）当我们学习一个新领域知识时，我们应该将阅读现代论述与钻研原始论文结合起来，尤其是该领域开创大师的论文。
很多学科的现代叙述所产生的主要麻烦是它们太完美了。随着每一个新作者都不断地发现和加入更巧妙的证明处理方法，最后形成的理论体系总是倾向于采用“最简短的证明”。很不幸的是，这种形式化的表述经常引起新一代学生们的极大困惑：“人们是怎样想出来的？”通过回到原始的出发点，学生通常就能够看到概念与理论的演变十分自然，并且理解它们是怎样一步步变成现代形式的理论的。
（2）另一方面，你应当对一些教条和“标准猜想”敢于质疑，即使它们来自于某些大人物。许多标准猜想都是基于一些人们所能够理解的特殊情形作出的。除此之外，剩下的基本上只有人们多少有些一相情愿的想法：人们很期望一般的图景不会和特殊情形所建议的图景相差太远。我知道几个这样的研究事例，在其中一开始的时候，人们都是先着手证明一个被认为普遍成立的结论，但是没有取得任何进展，直到最后人们才认真地反思它是否真的成立。
（3）不要将“初等”混同于“容易”：一个证明可以确定是初等的，但却不是容易的。实际上，存在着许多这样的定理：只要用一点点（现代数学的）高端方法就可以使定理的证明变得非常容易理解，并显示蕴涵于其中的思想，相反如果避免使用高端的概念与方法，而只是用初等的方法来证明，则会掩盖定理背后的思想内涵。（4）在数学中做研究会让人感到受挫，如果你还不习惯于遭受挫折，那么数学就不是你的理想选择。
在绝大多数的时间里，你是没有任何进展的，如果不是这样，则要么你是一个天才，要么就是你所遇到的问题属于在开始研究之前你已经知道怎样解决的那种。尽管一些后续的研究工作也会有相当的发展空间，并且达到较高的水准，但是一般来说绝大多数的重大突破都是用艰苦的工作换来的，伴随着许多错误的步骤，长时间里只有微小的进展，甚至还有倒退。
（5）每周听系里的各种学术报告，并且希望报告的组织者能够挑选好的报告人。在数学中有比较广博的知识是很重要的。在学习了解其他分支领域里的人们解决有趣问题的进展时，或当你听到演讲者在谈论相当不同的研究时，你的心灵会经常受到某些思想的触动。同样，你也可能学到一种方法或理论，或许可以用到你正在做的其中一个问题上。