最近风靡全网的小游戏“合成大西瓜”引发了不少数学爱好者的兴趣。其中，笛卡尔圆定理描述了四个互切圆半径之间的一种优美关系。利用圆的曲率，我们可以简洁地表达这个定理。笛卡尔的关系不仅适用于四个互切圆，还适用于其他一些看似例外的配置。这个定理已被数次独立发现，例如在18世纪的日本。1921年诺贝尔奖得主弗雷德里克·索迪也发现了它的一个证明，并将该定理以一首诗的形式发表出来。
笛卡尔圆定理不仅适用于二维的圆，还扩展到了三维的球面和更高维度的球面。索迪在诗歌的第三节描述了关于五个互切球面的一个类似结果。托洛尔德·戈塞特进一步扩展了这个结果，描述了n+2个彼此互切的（n-1）-维球面曲率之间的关系。
通过交换笛卡尔配置中的圆，我们可以产生新的笛卡尔配置。特别地，如果原配置中四个圆的曲率均为整数，则新的配置中圆的曲率也为整数。这种交换操作可以通过圆的反演来实现。
阿波罗尼奥斯圈填料是指通过不断交换笛卡尔配置中的圆，无限期地继续下去所产生的结果。这种填料以阿波罗尼奥斯命名，他是古希腊著名的几何学家。阿波罗尼奥斯填料中的曲率可以形成整数填料，即所有圆的曲率均为整数。
罗纳德·格雷厄姆等人的最新研究进一步扩展了笛卡尔圆定理，证明了如果一个填料中每个圆的曲率乘以圆心的坐标都是整数，则它们将在新的配置中。这种填料被称为强整数的。格雷厄姆等人还展示了一种找到根四元组的方法，从而得到整数阿波罗尼奥斯填料。