2021年10月1日，杨振宁先生即将迎来百岁诞辰。“赛先生”将发起系列纪念活动。自8月起，将陆续刊发系列杨振宁先生相关文章。今天，重温系列的第一篇，是97岁高龄的杨振宁先生跨越80年，求解在西南联大期间盛行于物理系与数学系师生间的一个数学游戏。我们将为评论区高赞第一的读者送出一件定制的印有杨-米尔斯方程的“赛先生”文化衫。
移棋相间游戏最早被记载于我国清代康熙年间成书的笔记小说《坚瓠集》中，在日本和英国亦曾以“鸳鸯游戏”和“泰特问题”之名风行。它要求玩家将n个相邻的白色棋子和n个相邻的黑色棋子，通过移动相邻两子的方式得到“黑白相间”的结果。
《坚瓠集》中记录，清代顺治年间胡励之曾发现当3≤n≤10时，经过n次移动均可得到“黑白相间”现象。
数百年后的1920年代，是年尚在读中学的数理统计学开创者之一、我国数学家许宝騄和他的好友、“新红学”开拓者俞平伯在阅读此书后，曾将上述规律推至二十棋子。许宝騄在一年后总结出“合四为一”的新规律，据称一分钟即可讲完，使人豁然贯通。然而，由于后来科学研究任务繁重，许先生最终也未能如愿将这一公式整理出来。而对这一游戏规律的探寻，也就一直传承到了十余年后许宝騄任教的西南联大学生身上。
在本文中，世界著名物理学家、诺贝尔物理学家杨振宁先生完整记录下了他对该问题“Modulo 4”解法的论证。1940年前后，在西南联大物理系和数学系的师生们许多都喜欢玩一个移动2n个围棋子的游戏。我也对它花过不少时间，始终未能完全解决。20多年后在美国我重新研究它，终于解决了所有n=3,4,5……的游戏，可是没有把答案写下来，只记得解决的一个关键方法是modulo 4。
最近看到一本关于许宝騄的书，《道德文章垂范人间》，其中316页上有一篇俞润民的文章，说许曾研究“移棋相间法”，曾发现“合四为一之新律”。我猜，此新律恐怕就是后来我发现的modulo 4方法。这几天重新研究此游戏，再度得到全解，在下面描述。
游戏初始：p(3)六个棋子摆成一行，如(1)，黑子(b)在左，白子(v)在右。然后移动最左二子至最右，成(2)，再移动二子成(3)，再移动二子成(4)。从(1)到(4)，三步移动，达到黑白相间是游戏p(3)的三步解。请注意，每次移动，必须是相邻二子，平行移动。
p(4)p(5)p(6)p(7)p(8)从(31)到(39)八步平行移动可以分成三段：第一段(31)到(33)两步。
请注意中间八子bbbbvvvv完全不动。第二段(33)到(37)四步。请注意左右两端的bvvb和vvbb八子完全不动。第三段(37)到(39)两步。其中第一步先不动(37)的最左四子bvvb,只把最右四子的中间二子vb移到左面，成(38)。第二步则把(38)中最左的bv二子移到右面成(39)。
极重要的比较：比较第二段(33)到(37)这四步，与p(4)的(5)到(9)这四步，前者去掉最左四子与最右四子就与后者完全雷同！！！也是说p(4)是p(8)的中心。p(8)在中心以外还有第一段的两步和第三段的两步，以及左右八子，合起来形成一框，我们称它为外框。
Modulo 4p(8)的中心是p(4)。四周是一个外框。我们把此关系写为p(4)→p(8)这个关系显然可以推广：至此我们已显示所有n>3时p(n)的解法。注解[1]数理统计学起源于二十世纪前半叶。创建此学科的五、六位学者中有许宝騄。[2]俞润民是许宝騄的外甥，是俞平伯的儿子。俞文还说此游戏“始于清顺治六七年”。2019年11月完稿于清华园。