Navier–Stokes方程的200年标志着Claude-Louis Navier于1822年引入的流体动力学中的一个里程碑。该方程考虑了流体的粘性和摩擦力，彻底改变了人们对流体运动的理解，将其适用范围扩展到了理想流体之外。在本文中，我们探讨了Navier–Stokes方程的历史发展及其在过去两个世纪对流体动力学的深远影响。
从Navier最初的理解到George Stokes的实验验证，再到其他科学家的后续贡献，我们追溯了这个方程的演变过程。我们还深入研究了它的实际应用，包括它在计算流体动力学发展中的作用。Navier–Stokes方程在推进我们对流体行为的理解方面发挥了关键作用，使其成为现代科学和工程的基石。
Navier–Stokes方程（以下简称N-S方程）的首次推导出现在Claude-Louis Navier的两篇论文中：《关于流体运动规律以及分子粘性》和《关于流体运动规律》。尽管如此，根据记录，这两篇文章都是在1822年3月18日在巴黎学院宣读的，这一年被认为是该方程出现的年份，也是该方程首次公开发表的年份。这两篇文章首次在流体运动方程中正式引入了摩擦。
在此之前，在1755年发表了著名的非粘性流体欧拉方程之后，运动方程一直局限于完美（理想）流体。
Navier-Stokes方程（N-S方程）是一个非线性偏微分方程，它控制着真实粘性流体的运动，可以看作是流体的牛顿第二定律。它描述了许多科学和工程领域感兴趣的流动现象的物理学，可用于模拟天气、空气和海洋流、这些流体介质中的污染扩散、管道中的水流、机翼上的空气流动、动脉中的血液流动等。它可以帮助工程师设计发电站、飞机、汽车、泵、涡轮机、通风机等流体流动设备，以及许多其他类型的设备。
不可压N-S方程如下：其中μ是粘性，ρ是密度，粗体表示向量。连续性方程▽·u=0，加上N-S方程的三个分量，构成了一个必要的方程系统，用于获得三个速度分量和压力。这个方程的边界条件是在固体边界u=U，其中U是边界速度。N-S方程是Euler方程的演化。Euler方程控制着无粘性流体的运动，因此可以看作是没有粘性项μ▽2u的Navier-Stokes方程。
在19世纪初，关于流体阻力和流动阻滞现象的知识是经验的。Navier也是如此，他甚至负责编写了Belidor的Architecture hydraulique的修订版，当时是一本非常受水利工程师欢迎的实用书籍。尽管如此，是Navier第一个尝试在Euler方程中插入新的术语，他将拉普拉斯的新分子理论应用到粘度模型中。
与当时使用的经验方法相反，这些方程被认为过于复杂，无法为当时工程师面临的实际问题提供现成的答案。此外，当时的数学能力还没有准备好处理这些方程。事实上，它们是有史以来第一批被写出的偏微分方程，其中涉及到了非线性项(u·▽)u，这一项至今仍困扰着人们。即使有人愿意修改欧拉方程，他也会缺乏关于新项结构的线索，也因为内部流体摩擦的概念尚不成熟。
这一部分的标题是从文献[4]借鉴来的，Darrigol在这篇文献中对N-S方程的最初提议进行了彻底而出色的描述，将其置于这个方程出现之前和之后的历史发展背景中。流体摩擦力与粘度的关系直到十九世纪才有了合适的模型。将粘性力纳入流体运动方程是由Claude-Louis Navier于1822年首次提出的。
现代弹性理论可以认为是在同一份出版物中诞生的，当时Navier第一次给出了（各向同性的，单常数的）弹性固体的平衡和运动方程。通过提出（被认为是第一个现代）弹性理论，Navier很快意识到这些方程可以扩展到其他连续介质，并以弹性固体方程为起点，他写了粘性流体的运动方程，用流体颗粒速度代替弹性固体位移，用流体粘度常数（Navier称之为“粘性系数”）代替弹性固体常数。
此后，奥古斯丁·柯西（Augustin Cauchy）、西姆·泊松（Simsamumon Poisson）和阿德·巴罗·圣维南（Adhsamar Barré de Saint-Venant）几乎独立地并通过不同的论证重新得到了粘性方程。正如Darrigol[4]所指出的，每一个新的发现者要么忽视要么诋毁他的前辈的贡献。每个人都有自己的方式来证明这个方程。
关于Stokes对粘性流动运动方程的研究，始于1845年，当时Stokes发表了《论运动中流体的内摩擦理论》。与Navier的方法类似，Stokes使用连续性论证来证明弹性固体和粘性流体的相同运动方程。一个实际的动机是，Stokes似乎已经意识到，在钟摆周围流动的空气的粘度可能会使钟摆的行为与真空中的理想钟摆不同。
就N-S方程的解而言，首先应该指出，由它们的第一作者提出的N-S方程严格地只适用于毛细血管中的缓慢运动，即层流（laminar flows）。这些最初的推导并没有打算将这个方程用于最常见的湍流。这是一个严重的限制，因为大多数感兴趣的流动通常是湍急的。尽管如此，对N-S方程解的探索促进了非常有创造性的数学方法的发展，这些方法使人们对层流有了更深入的了解，并促进了更复杂层流和一般湍流的数值解的发展。
N-S方程的精确解可分为两大类。第一类，由于流的简单性质，包括非线性项(u·▽)u=0的解。属于这一类的流动有Couette flow（lubrication theory由此发展而来）、Poiseuille flow（均匀横截面管内的流动）、旋转圆柱体之间的流动、Stokes第一和第二问题以及平行表面之间的脉动流动。
第二类精确解是非线性对流项不等于零的解。
这类流动的例子包括停滞点流动、收敛和发散通道中的流动以及多孔壁面上的流动。由于雷诺数（，其中L为特征长度，U为特征速度，其他量已经定义）可以解释为流体惯性力与粘性力之比，因此很小雷诺数的流动相当于惯性力可以忽略的情况。这意味着假设N-S方程中的对流惯性项(u·▽)u比粘性项小，从而得到Stokes方程。从Stokes方程中得到的一个著名的结果是著名的Stokes阻力定律。
在这里，我们发现粘性流体中自由落体的力与粘性之间存在联系。落球粘度计是一种测量液体粘度的装置，它是通过测量一个球体在重力作用下通过一个装有待测粘度流体的管子下落一定距离所需的时间。
边界层是靠近物体表面的一个薄区域，在那里粘性效应很明显。边界层是在内部流动中形成的，例如在管道的入口，以及在外部流动中形成的，例如在飞机机翼上的流动。
在翼型的情况下，边界层首先平滑地流过翼型的流线型，而边界层中的流动是层流的。当气流接近机翼中心时，由于摩擦，它开始失去速度，边界层变得更厚和湍流。任意形状翼型的层流边界层不存在解。尽管如此，对于受均匀流作用的平板，我们还是有可能从N-S方程的简化形式中得到一个解——实际上，对于一个复杂的问题来说，这是一个过于简化的问题。
正如我们刚才看到的，N-S方程对更复杂的层流没有解，正如前面提到的，它目前的形式不适用于湍流，而湍流是大多数感兴趣的流动的所在。与粘性应力类似，湍流速度波动也产生应力，即所谓的雷诺应力，它是湍流波动施加在平均流动上的平均力（每单位面积）。雷诺平均Navier-Stokes方程（RANS方程）是常规N-S方程的扩展，适用于湍流。
它们是通过所谓的雷诺分解得到的，即瞬时速度被分解成它们的时间平均量和波动量。RANS方程具有与层流N-S方程相同的结构，不同之处在于RANS方程中的速度用时间平均值表示。然而，在RANS方程中出现了一个附加项，它表示湍流的影响。这一项引入了六个与速度波动相关的未知项，但没有匹配的方程来关闭系统。因此，为了闭合方程组，需要对这一项进行建模。为此目的发展了几种方法。
计算流体力学（CFD）是流体力学的一个分支，它应用数值分析和数据结构来分析和解决涉及湍流的问题。计算机程序用于执行模拟自由流动和流体（液体和气体）与边界条件定义的表面的相互作用所需的计算。多亏了高速计算机，我们才能解决最大、最复杂的问题。图1显示了通过CFD模拟获得的飞机翼型周围的压力分布。CFD应用湍流数值模拟。这基本上可以通过直接数值模拟（DNS）和大涡模拟（LES）来完成。
DNS显式地解析和捕获所有尺度的湍流，包括最小的湍流。LES背后的主要思想是通过忽略最小的长度尺度来减少计算成本，而最小的长度尺度在计算上是最昂贵的。对于大多数工程应用来说，不需要解决湍流波动的细节，因此，RANS模拟是更好的选择。
RANS方程的应用需要采用湍流模型，湍流模型是封闭平均流量RANS方程系统的计算过程。湍流模型允许计算平均流量而不首先计算完全随时间变化的流场。
湍流模型提供了雷诺应力的表达式，从工程的角度来看，它必须简单、准确和经济。在N-S方程第一次出现之后，很快就清楚了，为了使这个方程更有用，它必须解决湍流现象。就是奥斯本·雷诺（Osborne Reynolds），流行的雷诺数的名字就是从他那里借用来的，他在1895年提出了通过对N-S方程对湍流涨落进行平均来包含湍流的方法，这就产生了前面讨论过的雷诺兹平均N-S方程。
接下来的主要进展是湍流建模，最初是通过特别程序完成的。这就是普朗特尔（Prandtl）在1925年提出的混合长度概念。这是最简单的湍流模型，目前仍用于CFD模拟RANS。混合长度的概念是由涡流粘度的概念演变而来的，涡流粘度与分子粘度类似，是由于湍流速度波动引起的内摩擦系数。
1877年，Boussinesq在他的著作Essai sur la théorie des Eaux Courantes中首次发表了涡动黏度的表达式，这是建立在Saint-Venant提出的湍流的早期观点之上的。1933年，Nikuradse发表了“粗糙管道中的流动定律”，这是基于他对湍流流过粗糙管道时所经历的摩擦的仔细测量。
这些测量结果由Colebrook进行插值，得出了以他的名字命名的公式，这是公认的湍流摩擦设计公式。1944年，穆迪（Moody）绘制了著名的管道摩擦穆迪图，这被认为是流体动力学中最有用的图表。
就应用而言，N-S方程的原始形式在其适用性方面当然有局限性，尽管如此，自从它第一次出现以来，它已经促进了大量的工作来理解，建模和预测流体行为，这对流体动力学的发展做出了决定性的贡献。
N-S方程存在的200年在流体动力学领域留下了不可磨灭的印记。从19世纪初它的诞生到21世纪的持续相关性，这个方程一直有助于扩大我们对流体运动的理解。Navier、Stokes和后来的科学家们的贡献巩固了它作为科学和工程的基本支柱的地位。方程从最初的形式演变为雷诺平均N-S方程，并超越了它，这使我们能够解决从层流到湍流的各种流体流动问题。
它在计算流体动力学（CFD）中的应用为模拟复杂的流体行为打开了大门，有助于飞机、车辆、发电站和各种流体机械的设计。
虽然N-S方程有其局限性，特别是在湍流建模方面，但它一直是研究和创新的催化剂。对理解和预测流体行为的追求导致了湍流模型、数值方法和实验技术的发展。这种持续的追求将继续塑造流体动力学的未来。在我们庆祝这一方程诞生200周年之际，我们承认它的持久意义以及它所激发的无数贡献。从基础研究到实际应用，N-S方程仍然证明了科学探索的持久力量及其对我们对自然世界的理解的影响。