拓扑学家证明了两项新成果，它们为令人困惑的四维图形研究带来了一些秩序。拓扑学的核心研究对象是被称为流形的空间。例如，球面就是一个二维流形。拓扑学家非常了解这种二维流形。他们还开发了一些工具，让他们能够理解三维流形和五维或更多维的流形。但在四维空间中，一切都变得有点疯狂……工具不再起作用，奇异的行为出现了。
正如麻省理工学院的汤姆·莫罗卡所解释的那样：“有足够的空间来产生有趣的现象，但空间又不能大到让它们分崩离析。”20世纪90年代初，莫罗卡和哈佛大学的彼得·克朗海默正在研究二维表面如何嵌入四维流形。他们开发了表征这些曲面的新技术，从而得以深入了解四维流形原本难以触及的结构。他们的研究结果表明，一大类曲面的成员都以相对简单的方式切入其父流形，并保持一个基本属性不变。但没有能证明这一点。
今年2月，休斯与布兰迪斯大学的丹尼尔·鲁伯曼一起，构建了一系列反例——“疯狂”的二维曲面，它们以数学家认为不可能的方式剖开母流形。这些反例表明，四维流形比数学家们早几十年认识到的更加丰富多彩。“这真是一篇漂亮的论文，”莫罗卡说。“我一直在看。那里有很多美味的小东西。”去年年底，鲁伯曼协助组织了一次会议，会议列出了低维拓扑中最重要的未决问题的新清单。
在筹备会议的过程中，他查看了1997年的一份重要未解拓扑问题清单。其中包括克朗海默根据他与莫罗卡的合作提出的一个问题。鲁伯曼说：“这个问题就在里面，我觉得它有点被遗忘了。”现在他认为他可以回答这个问题了。