历史上，古希腊数学家阿基米德最早求出了球的体积及表面积公式。阿基米德的结果记录在他的两卷著作《论球与圆柱》第一卷中，可以简单地叙述为：球与其外切圆柱体的体积之比、表面积之比，都等于三分之二。据说阿基米德希望把这一值得骄傲的发现刻在自己的墓碑上。本文介绍阿基米德得到球及球冠面积公式的方法，适合中学生阅读。直圆台的侧面积，初中数学已经学过圆锥的侧面积公式。
利用展开图可知，直圆锥的侧面积等于其中是底面圆的半径，是母线长。进一步，容易得到直圆台的侧面积公式。圆台及相关圆锥的轴截面图命题直圆台的侧面积等于其中为上下底面圆的半径，为母线长。证明：直圆台是从一个大的直圆锥，用平行于底面的平面切除一个小的直圆锥得到的。因此，直圆台的侧面积等于这两个直圆锥的侧面积之差。设大小圆锥的底面圆半径分别为母线长分别为则有及由三角形相似，有因此得到这就证明了命题。
旋转体的侧面积，如图，圆弧围绕直径旋转，得球冠。我们的目标是求出这个球冠的面积为此，先求出特殊的旋转体的侧面积。任意等分圆弧设分点依次为则有弦长相等关系式：对称地，等分圆弧设分点依次为折线围绕直径旋转一周，所得曲面的面积记为引理这个旋转曲面的面积证明：所求的面积是一些圆台的侧面积之和。连交与由上节的命题，得连分别交于由相似三角形序列得到比例式由合比定理，得因此这就证明了引理。
说法：分别称为球冠的斜边与高。球冠的面积，利用穷竭法，阿基米德严格地证明了：当面积的极限等于用上一节的记号，当有由引理，直接得到这个结论可以陈述为定理1球冠的面积等于球冠的高、直径及圆周率的乘积。进一步，由得到定理2球冠的面积等于以斜边为半径的圆面积。同样的讨论，给出球的面积公式。定理3球的面积等于球的大圆面积的四倍。
由球的面积得出体积，熟知，由圆的周长公式可以得出圆的面积公式：圆的面积等于周长与半径乘积的一半，即完全类似地，由球的面积公式可以得出球的体积公式：球的体积等于表面积与半径乘积的三分之一，即利用球的体积公式，也可以得出面积公式。结束语，阿基米德利用最基本的数学知识和极限思想，奇思妙算，求得球冠面积公式，令人叹为观止。按球面几何来看，球冠是球面几何的“圆”。
因此，球冠的面积公式可以翻译成球面几何的“圆面积公式”：半径为的球面上的“半径”为的圆的面积为把正弦改为双曲正弦，就得到双曲几何的圆面积公式。阿基米德的名字意为“大思想家”，再恰当不过。