你还会算小学除法余数吗？

你还会算小学除法余数吗？

浏览小学阶段的课外数学内容，经常看到涉及判断自然数被等整除的题目。课外学习资料里会提到判断整除的法则。例如：判断一个自然数是否被整除，就是看这个自然数的所有位置的数字之和是否被整除。但是通常不会详细解释得到法则背后的原理。本文利用同余运算推导出十进制自然数除以的余数计算法则。具体来说，对于正整数我们给出通过十进制自然数的数字来简便计算这个数除以所得余数的法则。本文适合小学高年级学生及一般读者阅读。

余数的定义能够定义余数是因为有“带余数的除法”。带余数的除法：任意给定整数和正整数存在唯一的整数和唯一的整数这要求使得如下等式成立：实际上，整数是使得不等式成立的最大整数，从而有关于带余数的除法，小学课本的算式是称是被除的不完全商。称是被除的余数。注：被整除，恰好是余数为的情形。注：按照定义，任何整数除以的余数为例：整数被除，余数为这是因为例：整数被除，余数为这是因为使用同余记号非常方便计算余数。

同余记号：如果两个整数除以正整数所得的余数相等，记作这称为同余等式，读作“模等于”。练习：证明同余等式恰好表示与的差是的倍数。例：利用同余记号来表示前面的例子，有在计算除以固定的正整数的余数时，可以利用同余运算的法则来减小实际的运算量。同余运算的法则：为了计算整数的加法、减法、乘法运算的结果除以正整数的余数，可以把涉及的整数替换成模同余的整数，再继续计算。

使用同余记号，根据同余运算的法则可以非常有效地计算余数。

除以的余数自然数减去个位数字，差的个位数字为因此这个差是的倍数。这说明自然数除以的余数等于个位数字除以的余数。命题10任何十进制自然数除以的余数恰好是个位数字。例：计算除以的余数，得到命题5任何十进制自然数除以的余数等于个位数字除以的余数。例：计算除以的余数，得到命题2任何十进制自然数除以的余数，等于个位数字除以的余数。

例：计算除以的余数，得到按照被除的余数，自然数分成偶数与奇数两类。一个自然数称为偶数，如果被除的余数为一个自然数称为奇数，如果被除的余数为利用个位数字可以判断自然数的奇偶性。如果个位数字是这个数是偶数。如果个位数字是这个数是奇数。练习：自然数被除的余数是什么？

除以的余数先考虑自然数除以的余数。自然数减去末二位数，差的末二位数字为因此这个差是的倍数，也是的倍数。

这说明自然数除以的余数等于这个自然数的末二位数除以的余数。命题4任何十进制自然数除以的余数等于末二位数除以的余数。例：计算除以的余数，得到练习：怎样计算十进制自然数被除的余数？现在考虑自然数除以的余数。自然数减去末三位数，差的末三位数字为因此这个差是的倍数，也是的倍数。这说明自然数除以的余数等于这个自然数的末三位数除以的余数。命题8任何十进制自然数除以的余数等于末三位数除以的余数。

例：计算除以的余数，得到练习：怎样计算自然数被除的余数？

用 的幂的组合表示自然数为了讨论自然数除以的余数，我们需要了解以为底数的幂。对于自然数我们将个的乘积，记作读作“的次幂”。因此有另外，规定这样，就可以把自然数表示为每个位置的数字与相应的的幂的乘积之和。例如：实际上，自然数加法、乘法的竖式运算的法则都可以利用这样的表达式来解释。

除以的余数首先考虑十进制自然数除以的余数。

因为除以的余数等于所以的任意次幂除以的余数都等于利用同余运算的法则来计算除以的余数，可知自然数模等于所有位置的数字之和。命题3任何十进制自然数除以的余数，等于这个自然数的各位置数字之和除以的余数。例：计算除以的余数，得到现在考虑十进制自然数除以的余数。因为除以的余数等于所以的任意次幂除以的余数都等于利用同余运算的法则来计算除以的余数，可知自然数模等于所有位置的数字之和。

命题9任何十进制自然数除以的余数，等于这个自然数的各位置数字之和除以的余数。例：计算除以的余数，得到练习：判断是不是的倍数。

除以的余数需要弄清楚的各次幂除以的余数。因为模等于容易得到如下规律：的偶数次幂模等于的奇数次幂模等于利用同余运算的原理，立即得到如下命题。命题11任何十进制自然数除以的余数，等于这个自然数的对应于的偶数次幂的所有位置的数字之和与对应于的奇数次幂的所有位置的数字之和的差除以的余数。例：计算除以的余数，得到练习：判断是不是的倍数。

除以的余数本节证明：自然数除以的余数可以由除以的余数计算出来，除以的余数可以由除以的余数计算出来。首先，我们有如下计算除以的余数的方法。命题6任何整数除以的余数，等于除以的余数的三倍与除以的余数的二倍的差，再除以的余数。证明：设整数除以的余数分别为即以上两式分别乘以和得到这两个同模的同余等式相减，得到这就证明了命题6例：计算除以的余数。已经知道由命题6得到完全类似地，有如下计算除以的余数的方法。

命题12任何整数除以的余数，等于除以的余数的四倍与除以的余数的三倍的差，再除以所得的余数。证明：设整数除以的余数分别为即以上两式分别乘以和得到这两个同模的同余等式相减，得到这就证明了命题12例：计算除以的余数。已经知道由命题12得到

除以的余数根据因数分解式可知命题7把十进制自然数从右向左每三位分一组，得到若干个三位数再把这些三位数从右向左交错地配以正号、负号，得到加减法算式，最后把算式的结果除以就得到原自然数除以的余数。例：计算分别除以的余数，得到练习：怎样简便地计算自然数除以的余数？

结束语本文介绍了利用十进制自然数的各位置数字来简便计算这个数除以等的余数的原理。弄懂这些原理，就可以解决简单的整除问题了。

有兴趣的读者可以试试下面这道小学课外题：已知整除八位数求数字一朝闻原理，做得课外题，不亦乐乎？转载内容仅代表作者观点不代表中科院物理所立场如需转载请联系原公众号来源：数学元年编辑：圆周π小姐近期热门文章Top10点击标题即可查看↓1. 两块钱一根的淀粉肠，里面有肉吗？这需要一点海克斯科技2. 要造多大一双翅膀才能让我们自由飞翔？|No.3263. 撕胶带为什么那么吵？

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