重⼼坐标常常以隐蔽的形式出现于涉及向量的数学题⽬中。在⼀维情形，选定了直线上的有序相异⼆点，该直线上的每个点都唯⼀地对应着和等于的有序实数对，称为该点关于选定的有序⼆点组的重⼼坐标。特别地，选定的⼆点及它们的中点的重⼼坐标分别为。在⼆维情形，选定了平⾯上不共线的有序三点，该平⾯上的每个点都唯⼀地对应着和等于的有序实数三元组，称为该点关于选定的有序三点组的重⼼坐标。
特别地，选定的三点及它们的重⼼点的重⼼坐标分别为。在三维情形，选定了空间中的不共⾯的有序四点，该平⾯上的每个点都唯⼀地对应着和等于的有序实数四元组，称为该点关于选定的有序四点组的重⼼坐标。特别地，选定的四点及它们的重⼼点的重⼼坐标分别为（更正：重⼼点的坐标是四个1/4）。这样就得到了直线、平⾯和空间的重⼼坐标系。
本⽂简要介绍⼀维、⼆维、三维重⼼坐标系，适合于准备参加强基计划的中学⽣阅读。
(⼀)点组的⺓和系数的线性组合——代表点称⼀组数为⺓和的，如果它们的和等于。下⾯的命题表明，任何点组的⼀组⺓和系数的线性组合代表唯⼀确定的点。命题1设是空间中的点组，是⼀组⺓和的实数。则存在唯⼀点使得向量等式对于任意点成⽴。证明：任取点则有向量根据向量的定义，存在唯⼀点使得现在证明，如果把换成任意另外的点上述向量等式仍成⽴。利⽤等式⽴即得到这就证明了命题1。
记号：我们把与点⽆关的向量等式简写为并进⼀步理解为关于点组的线性组合的等式。(⼆)点组的零和系数的线性组合，代表向量称⼀组数为零和的，如果它们的和等于。下⾯的命题表明，任何点组的⼀组零和系数的线性组合代表唯⼀确定的向量。命题2设是空间中的点组，是⼀组零和的实数。则是确定的向量，与点⽆关。证明：对于任意点及利⽤⽴即得到这就证明了命题2。
记号：我们把与点⽆关的向量等式简写为并理解为点组的零和系数的线性组合。(三)重⼼坐标系尽管可⽤统⼀⽅式叙述⼀维到三维的重⼼坐标系，但是为了便于理解，我们分别写出⼀维、⼆维、三维的命题。命题3.1设是直线上有序相异⼆点。任取该直线上⼀点存在唯⼀的⺓和的有序⼆元实数组使得这⾥的⺓和的有序⼆元实数组称为关于有序⼆点组的⼀维重⼼坐标。容易验证，关于有序⼆点组的重⼼坐标分别为。
命题3.2设是平⾯上不共线的有序三点。任取该平⾯上⼀点存在唯⼀的⺓和的有序三元实数组使得这⾥的⺓和的有序三元实数组称为关于有序三点组的⼆维重⼼坐标。容易验证，关于有序三点组的重⼼坐标分别为。命题3.3设是空间中不共⾯的有序四点。任取空间中的⼀点存在唯⼀的⺓和的有序四元实数组使得这⾥的⺓和的有序四元实数组称为关于有序四点组的三维重⼼坐标。容易验证，关于有序四点组的重⼼坐标分别为。
这三个命题的证明是完全类似的。这⾥我们仅写出三维情形的证明。命题3.3的证明：根据向量的⼏何基础，点组不共⾯，等价于向量组不共⾯。因此向量可以唯⼀⽅式表示为向量组的线性组合，即存在唯⼀的有序三元实数组使得对于任意点有规定则有为了证明唯⼀性，从命题中的等式出发，⽴刻得到因为向量组不共⾯，所以有序三元实数组是唯⼀的，从⽽也是唯⼀的。这就完成了命题3.3的证明。
注：由证明的后⼀部分可知，任意给定⺓和的有序四元实数组存在空间中的点使得关于有序四点组的三维重⼼坐标为因此三维的重⼼坐标系建⽴了空间中的全体点与⺓和的全体有序四元实数组之间的⼀⼀对应。⼀维及⼆维重⼼坐标系也有完全类似的性质。(五)重⼼坐标的物理意义按照物理学来解释，点的重⼼坐标，可以理解为有限质点体系的各点所配的质量占⽐。
⼀维情形：设点关于有序相异⼆点组的重⼼坐标为则可以理解为质量之⽐为的⼆质点系统的质⼼。⼆维情形：设点关于不共线的有序三点组的重⼼坐标为则可以理解为质量之⽐为的三质点系统的质⼼。三维情形：设点关于不共⾯的有序四点组的重⼼坐标为则可以理解为质量之⽐为的四质点系统的质⼼。需要注意的是，这⾥的“质量”是数学意义上的，允许任意实数值。(六)重⼼坐标的⼏何意义重⼼坐标可以表示为适当的有向图形之⽐。
命题6.1设是直线上有序相异⼆点。则该直线上的任意点的重⼼坐标由有向线段之⽐给出：注：这⾥有向线段是⽤分别替换有向线段中的所得到的。命题6.2设是平⾯上不共线的有序三点。则该平⾯上的任意点的重⼼坐标由三⻆形的有向⾯积之⽐给出：注：这⾥有向三⻆形是⽤分别替换有向三⻆形中的所得到的。类似地，三维重⼼坐标可以表示为有序四⾯体的代数体积之⽐。(七)⻬次重⼼坐标称重⼼坐标的连⽐为⻬次重⼼坐标。
为区别，原来定义的重⼼坐标，也称为标准重⼼坐标。根据重⼼坐标的⼏何意义，⼀维⻬次重⼼坐标为⼆维⻬次重⼼坐标为三维⻬次重⼼坐标为由⻬次重⼼坐标，容易得到标准重⼼坐标。
⻬次重⼼坐标为的点的标准重⼼坐标为或简写为(⼋)由分割⽐求出重⼼坐标之⽐给定三⻆形所在平⾯上不同于顶点的⼀点设直线分别交对边所在的直线于则关于的⻬次重⼼坐标为⽽关于的⻬次重⼼坐标为容易看出，分各⾃所在边之⽐为由此可以得出对应的重⼼坐标之⽐，从⽽求出的⻬次重⼼坐标。
(九)三⻆形的⼏个特殊点的重⼼坐标按惯例，记三⻆形的边⻓度分别为周⻓为⽽顶点处的内⻆分别为根据重⼼坐标的⼏何意义，或者利⽤上⼀节的⽅法，可以求得三⻆形的重⼼、内⼼、旁⼼、垂⼼、外⼼关于重⼼坐标。
命题G三⻆形的重⼼的⻬次及标准重⼼坐标为命题I三⻆形的内⼼的⻬次及标准重⼼坐标为命题I'三⻆形的旁⼼的⻬次及标准重⼼坐标为命题H三⻆形的垂⼼的⻬次及标准重⼼坐标为命题O三⻆形的外⼼的⻬次及标准重⼼坐标为或者表示为另外的形式：注：三⻆形的特殊点都可通过重⼼坐标来给出。
Clark Kimberling建⽴了三⻆形特殊点⼤百科：https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html(⼗)欧拉线定理利⽤外⼼、重⼼、垂⼼的标准重⼼坐标，⽴即得出著名的欧拉线定理。
欧拉线定理：三⻆形的外⼼重⼼垂⼼共线，且满⾜证明：已经求得三⻆形的外⼼、重⼼、垂⼼的标准重⼼坐标为容易直接验证它们的标准重⼼坐标满⾜因此落在线段上，且分割⽐为这就证明了欧拉线定理。(⼗⼀)三⻆形边框图形的重⼼作为重⼼坐标⽅法的简单应⽤，我们确定三⻆形边框图形的重⼼点。
命题K三⻆形的边框图形的重⼼点的⻬次及标准重⼼坐标为证明：令三⻆形的边的质量(即边⻓)分别集中于该边的中⼼则分别是配以质量所构成的三质点系统的质⼼。因此有这就证明了命题K。(⼗⼆)结束语重⼼坐标⽅法在⼏何学、拓扑学、计算机图形学及地球物理中都有重要应⽤。历史上，重⼼坐标系是由德国数学家莫⽐乌斯(August Ferdinand M?bius, 1790-1868)于1827年引⼊的。
从射影⼏何的观点来看，重⼼坐标系是⼀种射影坐标系。通过⻬次重⼼坐标，可以找出射影⼏何意义下的⽆穷远点——它们恰好是那些⻬次重⼼坐标不全为零但其和等于零的新的“点”。希望同学们已经初步理解了什么是重⼼坐标。