数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100多个主要分⽀学科的庞⼤的“共和国”。⼤体说来数学有三⼤核⼼领域：1）数学中研究数的部分属于代数学的范畴；2）研究形的部分，属于⼏何学的范筹；3）沟通形与数且涉及极限运算的部分，属于分析学的范围。这三⼤类数学构成了整个数学的本体与核⼼。在这⼀核⼼的周围，由于数学通过数与形这两个概念，与其它科学互相渗透，⽽出现了许多边缘学科和交叉学科。
本⽂简要介绍数学三⼤核⼼领域中⼗⼏⻔主要分⽀学科的有关历史发展情况。
⼏何学范畴
01初等⼏何
在希腊语中，“⼏何学”是由“地”与“测量”合并⽽来的，本来有测量⼟地的含义，意译就是“测地术”。“⼏何学”这个名词，系我国明代数学家根据读⾳译出的，沿⽤⾄今。现在的初等⼏何主要是指欧⼏⾥得⼏何，它是讨论图形（点、线、⾯、⻆、圆等）在运动下的不变性质的科学。例如，欧⽒⼏何中的两点之间的距离，两条直线相交的交⻆⼤⼩，半径是r的某⼀圆的⾯积等都是⼀些运动不变量。
初等⼏何作为⼀⻔课程来讲，安排在初等代数之后；然⽽在历史上，⼏何学的发展曾优先于代数学，它主要被认为是古希腊⼈的贡献。⼏何学舍弃了物质所有的其它性质，只保留了空间形式和关系作为⾃⼰研究的对象，因此它是抽象的。这种抽象决定了⼏何的思维⽅法，就是必须⽤推理的⽅法，从⼀些结论导出另⼀些新结论。
定理是⽤演绎的⽅式来证明的，这种论证⼏何学的代表作，便是公元前三世纪欧⼏⾥得的《原本》，它从定义与公理出发，演绎出各种⼏何定理。
02射影⼏何
射影⼏何学是⼀⻔讨论在把点射影到直线或平⾯上的时候，图形的不变性质的⼀⻔⼏何学。幻灯⽚上的点、线，经过幻灯机的照射投影，在银幕上的图画中都有相对应的点线，这样⼀组图形经过有限次透视以后，变成另⼀组图形，这在数学上就叫做射影对应。射影⼏何学在航空、摄影和测量等⽅⾯都有⼴泛的应⽤。
03解析⼏何
解析⼏何即坐标⼏何，包括平⾯解析⼏何和⽴体解析⼏何两部分。解析⼏何通过平⾯直⻆坐标系和空间直⻆坐标系，建⽴点与实数对之间的⼀⼀对应关系，从⽽建⽴起曲线或曲⾯与⽅程之间的⼀⼀对应关系，因⽽就能⽤代数⽅法研究⼏何问题，或⽤⼏何⽅法研究代数问题。
04⾮欧⼏何
⾮欧⼏何有三种不同的含义：狭义的，单指罗⽒（罗巴切夫斯基）⼏何；⼴义的，泛指⼀切和欧⽒（欧⼏⾥得）⼏何不同的⼏何；通常意义的，指罗⽒⼏何和黎曼⼏何。
05拓扑学
1736年，欧拉发表论⽂，讨论哥尼斯堡七桥问题。他还提出球⾯三⻆形剖分图形顶点、边、⾯之间关系的欧拉公式，这可以说是拓扑学的开端。
现在的拓扑学可以粗略地定义为对于连续性的数学研究。任何事物的集合都能在某种意义上构成拓扑空间，拓扑学的概念和理论已基本完组成为数学的基础理论之⼀，渗⼊到各个分⽀，并且成功地应⽤于电磁学和物理学的研究。